本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の単位ベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する
3次元円柱座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
で、円柱座標系と直交座標系の単位ベクトルの関係
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \cos \theta \ \boldsymbol{i} + \sin \theta \ \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& - \sin \theta \ \boldsymbol{i} + \cos \theta \ \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{k} &=& \boldsymbol{k} \tag{2}
\end{eqnarray}を導きましたが、これより次のことが分かります。
単位ベクトルの偏微分
単位ベクトルを$r, \theta$で偏微分すると、式(2)により、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_r &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_r &=& -\sin \theta \ \boldsymbol{i} + \cos \theta \, \boldsymbol{j} = \boldsymbol{e}_\theta \\
\frac{\partial}{\partial z} \, \boldsymbol{e}_r &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_\theta &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\theta &=& - \cos \theta \ \boldsymbol{i} - \sin \theta \ \boldsymbol{j} = -\boldsymbol{e}_r \\
\frac{\partial}{\partial z} \, \boldsymbol{e}_\theta &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial r} \, \boldsymbol{k} &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial \theta} \, \boldsymbol{k} &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial z} \, \boldsymbol{k} &=& 0 \tag{9}
\end{eqnarray}となります。
これより、$\theta$が変化すると単位ベクトルは自身に垂直な方向に変化していくことが分かります。
