本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta
\end{eqnarray}
で表される3次元の球座標系についてまとめます。
極座標 - 数式で独楽する
体積要素
\begin{equation}
dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi
\end{equation}
3次元極座標の体積要素 - 数式で独楽する
平面極座標の面積要素 - 数式で独楽する
単位ベクトル
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\phi &=& - \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \phi \, \boldsymbol{j}
\end{eqnarray}
3次元球座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
3次元球座標系の単位ベクトルの変換の行列表記 - 数式で独楽する
3次元球座標系の単位ベクトル同士の関係 - 数式で独楽する
3次元球座標系の単位ベクトルの偏微分 - 数式で独楽する
偏微分の変換
\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial x} &=& \sin \theta \cos \phi \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta \cos \phi}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} - \frac{\sin \phi}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \\
\frac{\partial u}{\partial y} &=& \sin \theta \sin \phi \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta \sin \phi}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} + \frac{\cos \phi}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \\
\frac{\partial u}{\partial z} &=& \cos \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}
\end{eqnarray}
3次元球座標系の偏微分 - 数式で独楽する
ベクトルの変換
\begin{eqnarray}
A_r &=& A_x \sin \theta \cos \phi + A_y \sin \theta \sin \phi + A_z \cos \theta \\
A_\theta &=& A_x \cos \theta \cos \phi + A_y \cos \theta \sin \phi - A_z \sin \theta \\
A_\phi &=& - A_x \sin \phi + A_y \cos \phi
\end{eqnarray}
3次元球座標系のベクトル - 数式で独楽する
3次元球座標系のベクトル～もうひとつのアプローチ - 数式で独楽する
勾配
\begin{equation}
\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \, \boldsymbol{e}_\phi
\end{equation}
3次元球座標系の勾配 - 数式で独楽する
3次元球座標系の勾配 ~ 行列的アプローチ - 数式で独楽する
発散
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \, A_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{equation}
3次元球座標系の発散 - 数式で独楽する
3次元球座標系の発散 ~ 内積のように導く - 数式で独楽する
回転
\begin{eqnarray}
\nabla \times \boldsymbol{A} &=& \left( \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \, A_\phi) - \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right) \, \boldsymbol{e}_r \\
&& + \left( \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_\phi) \right) \, \boldsymbol{e}_\theta + \left( \frac{\partial}{\partial r} (r A_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \, \boldsymbol{e}_\phi
\end{eqnarray}
3次元球座標系の回転 - 数式で独楽する
ラプラシアン(勾配の発散)
\begin{equation}
\nabla^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \, \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \, \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}
\end{equation}
3次元極座標系(球座標系)のラプラシアン - 数式で独楽する
3次元球座標系のラプラシアン(勾配の発散) - 数式で独楽する
速度
\begin{equation}
\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \, \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \tag{3}
\end{equation}
3次元球座標系の速度 - 数式で独楽する
加速度
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} &=&
\left( \frac{d^2 r}{dt^2} - r \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 - r \sin^2 \theta \left( \frac{d\phi}{dt} \right)^2 \right) \, \boldsymbol{e}_r \\
&& + \left( 2 \, \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} + r \, \frac{d^2 \theta}{dt^2} - r \sin \theta \cos \theta \, \left( \frac{d\phi}{dt} \right)^2 \right) \, \boldsymbol{e}_\theta \\
&& + \left( \frac{1}{r \sin \theta} \frac{d}{dt} \left( r^2 \sin^2 \theta \, \frac{d\phi}{dt} \right) \right) \, \boldsymbol{e}_\phi
\end{eqnarray}
3次元球座標系の加速度 - 数式で独楽する
