極座標 - 数式で独楽する

直交座標系は、縦横高さの位置を数値化して図形や物体の運動を表現するものです。
これに対し、
極座標系は、中心からの距離と基準線との角度を数値化することで、同じことを表現するものです。

基準線は、中心から引いた半直線です。
中心との関係を強く意識するときに、極座標系を用いることが多いです。

2次元の極座標系

直交座標系 $(x, y)$ を極座標系 $(r, \theta)$ に変換する式は次の通りです。
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}
円座標ともいいます。

3次元の極座標系

直交座標系 $(x, y, z)$ を極座標系 $(r, \theta, \phi)$ への変換は次の通りです。
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta
\end{eqnarray}
別名、球座標です。

角 $\theta$ は、 $z$ 軸を地軸に見立てた地球の北極から南極へ子午線に沿って行く角度、
角 $\phi$ は経度(東経が正、西経が負)です。

なお、こちらは円柱座標です。
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z
\end{eqnarray}