本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の勾配について述べます。
スカラーの勾配 - 数式で独楽する
直交座標系の偏微分と単位ベクトルの積の和を球座標系のそれで表すことを目指しますが、
\begin{eqnarray}
\rho^2 &=& x^2 + y^2 \\
r^2 &=& z^2 + \rho^2
\end{eqnarray}として2次元極座標系の勾配を2回用いると導くことができます。
2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する
- 点(x,y,z)を含みz軸に直交する平面
- 点(x,y,z)とz軸を含む平面
に分けて考えていきます。
点(x,y,z)を含み、z軸と直交する平面では、
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} \ \boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \ \boldsymbol{j} = \frac{\partial u}{\partial \rho} \, \boldsymbol{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \phi} \, \boldsymbol{e}_\phi \tag{2.1}
\end{equation}が成り立ちます。
点(x,y,z)とz軸を含む平面では、
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial z} \ \boldsymbol{k} + \frac{\partial u}{\partial \rho} \, \boldsymbol{e}_\rho = \frac{\partial u}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\theta \tag{2.2}
\end{equation}となります。
式(2.1), (2.2)よりρを消去すると、球座標系の勾配を導くことができます。
\begin{eqnarray}
\nabla u &=& \frac{\partial u}{\partial x} \ \boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \ \boldsymbol{j} + \frac{\partial u}{\partial z} \ \boldsymbol{k} \\
&=& \frac{\partial u}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \, \boldsymbol{e}_\phi
\end{eqnarray}
これより、3次元球座標系のナブラは、
\begin{equation}
\nabla = \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial u}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} + \boldsymbol{e}_\phi \, \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi}
\end{equation}と書くことができます。
