2×2行列のケーリー・ハミルトンの定理

2×2行列のケーリー・ハミルトンの定理
2×2行列 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ に対し、
\begin{equation}
A^2 -(a +d)A +(ad -bc)I = O
\end{equation}が成り立ちます。
ここで $O$ は零行列、 $I$ は単位行列です。

零行列 - 数式で独楽する
 単位行列 - 数式で独楽する

2×2行列の場合、行列の成分が少ないので、強引に求めてみます。
\begin{eqnarray}
A^2 &=& \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{cc}
a^2 +bc & (a +d)b \\
(a +d)c & bc +d^2
\end{array} \right) \\
&=& (a +d)A +\left( \begin{array}{cc}
-ad +bc & 0 \\
0 & -ad +bc
\end{array} \right) \\
&=& (a +d)A -(ad -bc)I
\end{eqnarray}
よって、
\begin{equation}
A^2 -(a +d)A +(ad -bc)I = O
\end{equation}を得ます。