平面上の点で座標、座標がともに整数である点を格子点という。(1)格子点を頂点とする三角形の面積は以上であることを示せ。(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき、この四角形は平行四辺形であることを示せ。

行列および実数に対し、行列を用いて表されたに関する連立一次方程式

とする。次の(*)が成り立つためのについての必要十分条件を求めよ。

2次元ベクトルが

を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。

を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。

を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

零ベクトルとは、ベクトル演算において

2×2行列のケーリー・ハミルトンの定理 2×2行列に対し、

零行列とは、成分が全て0である行列です。

を実数とし、Oを原点とする座標平面において、行列により表される1次変換をとする。この1次変換が2つの条件

行列によって定まる平面の1次変換をとする。原点以外のある点PがによってP自身に移されるならば、原点を通らない直線であって、のどの点もによっての点に移されるようなものが存在することを証明せよ。

個の複素数の変数より、 重複を許して適当に2個取り出して、 片方を複素共軛にして積をとり、 さらに適当に定数(複素数)を乗じ、 和をとったもの を「エルミート2次形式」といいます。数式で記述すると、 \begin{equation} Q = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_…

個の変数より、 重複を許して適当に2個取り出して積をとり、 さらに適当に定数を乗じ、 和をとったもの を「2次形式」といいます。

本稿では、対角化の具体例を見ていきます。 行列の対角化 - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{equation}を対角化します。行列$A$は対称行列です。 対称行列とエ…

本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{equation}の固有値・固有ベ…

本稿では、対角化の具体例を見ていきます。 行列の対角化 - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -1\\ 1 & 3 \end{array} \right) \end{equation}を対角化します。まず、固有値・固有ベクトルは \begin{equation} \lambda=2, \…

本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \end{equation}の固有値・固有ベクトルを求めます。す…

相異なる固有値、固有ベクトルをもつ対称行列は、 固有ベクトルを並べて作った直交行列で、 固有値を並べて作った対角行列に 対角化することができます。 行列の対角化 - 数式で独楽する 相異なる固有値と付随する固有ベクトル - 数式で独楽する固有値が重複…

本稿では、対角化の具体例を見ていきます。 行列の対角化 - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 5 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{array} \right) \end{equation}を対角化します。まず、固有値・固有ベクトルは \beg…

本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 5 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{array} \right) \end{equation}の固有値・固…

行列$A$に対する行列式をやと表します。行列式は、 \begin{equation} \det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n} \end{equation}と定義します。 行列式 - 数式で独楽するこ…

2×2行列の逆行列は、 \begin{equation} A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \end{equation}です。 逆行列 - 数式で独楽する2×2行列であれば、逆行列を求めるのは容易です。 2×2行列の逆行列 - 数式…

2×2行列の逆行列は、 \begin{equation} A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \end{equation}です。 逆行列が存在する条件は、 \begin{equation} ad - bc \ne 0 \end{equation}です。 逆行列 - 数式で…

相異なる固有値、固有ベクトルをもつエルミート行列は、 固有ベクトルを並べて作ったユニタリ行列で、 固有値を並べて作った対角行列に 対角化することができます。 行列の対角化 - 数式で独楽する 相異なる固有値と付随する固有ベクトル - 数式で独楽するな…

相異なる固有値、固有ベクトルをもつ対称行列は、 固有ベクトルを並べて作った直交行列で、 固有値を並べて作った対角行列に 対角化することができます。 行列の対角化 - 数式で独楽する 相異なる固有値と付随する固有ベクトル - 数式で独楽するなる$n \time…

エルミート行列 随伴行列が元の行列と等しくなる行列を「エルミート行列」といいます。 共軛複素数 - 数式で独楽する 共軛複素数 その2 - 数式で独楽する 行列がエルミート行列の場合、 \begin{equation} A^* = A \end{equation}を満たします。 行列の成分は…