2003年前期京大理系第5問 - 数式で独楽する

$a,b,c,d$ を実数とする。2次の正方行列 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ と2次の単位行列 $E$ に対して、集合 $L(A)$ を $L(A) = \{ rE +sA | r,s \mbox{は実数} \}$ とする。このとき次の条件(*)が成立するための、 $a,b,c,d$ についての必要十分条件を求めよ。
(*) $L(A)$ の要素 $B$ は零行列でなければ逆行列をもつ

解答例
解説

解答例

$t$ を実数とします。
$A = tE$ の場合、
\begin{equation}
B = (r +st) \, E
\end{equation}です。
$r +st \ne 0$ なら $B$ は逆行列を持ち、
\begin{equation}
B^{-1} = \frac{1}{r +st} \, E
\end{equation}です。
したがって、 $a,b,c,d$ についての条件は、
\begin{equation}
a = d \ \mbox{かつ} \ b = c = 0
\end{equation}です。

$A \ne tE$ の場合、 $r = s = 0$ でなければ $B$ は零行列になりません。
逆行列を持つ条件は、
\begin{eqnarray}
\det (rE +sA) &=& (r +sa)(r +sd) - sb \cdot sc \\
&=& r^2 +(a +d) sr +s^2 (ad -bc) \ne 0
\end{eqnarray}です。
$\det (rE +sA) = 0$ が実数解を持たない条件を求めることになります。つまり、
\begin{equation}
D = (a +d)^2 s^2 -4s^2 (ad -bc) < 0
\end{equation}です。
$s^2 \geqq 0$ なので、
\begin{eqnarray}
(a +d)^2 -4(ad -bc) &<& 0 \\
\therefore \quad (a -d)^2 +4bc &<& 0
\end{eqnarray}を得ます。