2×2行列の逆行列

2×2行列の逆行列は、
\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)
\end{equation}です。
逆行列が存在する条件は、
\begin{equation}
ad - bc \ne 0
\end{equation}です。

逆行列 - 数式で独楽する

2×2行列であれば、逆行列を求めるのは容易です。
逆行列をとすると、より、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc}
ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\end{equation}つまり、
\begin{eqnarray}
ae + bg &=& 1 \tag{1} \\
af + bh &=& 0 \tag{2} \\
ce + dg &=& 0 \tag{3} \\
cf + dh &=& 1 \tag{4}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(3), (2)より、
\begin{eqnarray}
g &=& - \frac{c}{d} \, e \tag{5} \\
h &=& - \frac{a}{b} \, f \tag{6}
\end{eqnarray}なので、これを式(1), (4)に代入して
\begin{eqnarray}
\left( a - \frac{bc}{d} \right) \, e &=& 1 \\
\left( c - \frac{ad}{b} \right) \, f &=& 1
\end{eqnarray}つまりであれば
\begin{eqnarray}
e &=& \frac{d}{ad - bc} \tag{7} \\
f &=& - \frac{b}{ad - bc} \tag{8}
\end{eqnarray}を得ます。

これを式(5), (6)に代入して、
\begin{eqnarray}
g &=& - \frac{c}{ad - bc} \tag{9} \\
h &=& \frac{a}{ad - bc} \tag{10}
\end{eqnarray}を得ます。

式(7)~(10)より、逆行列は、
\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \tag{11}
\end{equation}となります。

なお、

⇔ 逆行列が存在する
です。

また、式(11)とすれば
\begin{equation}
A^{-1} A = I
\end{equation}となります。