本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 3
\end{array} \right)
\end{equation}の固有値・固有ベクトルを求めます。
すなわち
が
なる解をもつ条件は、
\begin{equation}
\mathrm{det} (A -\lambda I) =0
\end{equation}です。これが「特性方程式」です。具体的に計算していきます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{det} (A - \lambda I) &=& \left| \begin{array}{cc}
1-\lambda & -1 \\
1 & 3-\lambda
\end{array} \right| \\
&=& (1 -\lambda)(3 -\lambda) +1 \\
&=& \lambda^2 -4\lambda +4 \\
&=& (\lambda -2)^2 =0 \\
\therefore \quad \lambda &=& 2(重解)
\end{eqnarray}を得ます。
固有値に対して
\begin{eqnarray}
(A -\lambda I) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &=&
\left( \begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &=& \boldsymbol{0} \\
\Rightarrow \quad x +y &=& 0
\end{eqnarray}なので、固有ベクトルは
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_1 = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{equation}です。
次に、を満たす
を求めます。
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &=&
\left( \begin{array}{cc} x -y \\ x +3y \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right) +2 \left( \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad x - y &=& 2x +1 \\
x + 3y &=& 2y -1 \\
\Rightarrow \quad x + y &=& -1
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_2 = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
\end{equation}としておきます。*1
そして、
\begin{equation}
P = \left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{array} \right)
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
P^{-1} = \left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{array} \right)
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
P^{-1} AP &=& \left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
2 & 3 \\
-2 & -5
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
*1:は$x+y=-1$を満たせばよく、$P^{-1}AP$は同じ形になります。
対角化(?)の実演 その2 - 数式で独楽する
