畳み込みの分配律

関数の畳み込みとは、2つの関数から第3の関数を合成する演算をいい、

\begin{equation}
(f*g)(x) = \int f(u) \, g(x -u) \, du
\end{equation}と定義します。
片方を移動させながら、もう片方を重ねて足し合わせます。
積分の範囲は関数の定義域に依存します。
区間で定義される関数を扱うことが多く、積分範囲はとすることが多いです。

分配律
\begin{equation}
f*(g +h) = f*g +f*h
\end{equation}

分配律は容易に示すことができます。
\begin{eqnarray}
\left( f*(g +h) \right) (x) &=& \int f(u) \, \left( g(x -u) +h(x -u) \right) \ du \\
&=& \int f(u) \, g(x -u) \, du +\int f(u) \, h(x -u) \, du \\
&=& (f*g)(x) +(f*h)(x)
\end{eqnarray}