関数の畳み込みとは、2つの関数から第3の関数を合成する演算をいい、
\begin{equation}
(f*g)(x) = \int f(u) \, g(x -u) \, du
\end{equation}と定義します。
片方を移動させながら、もう片方を重ねて足し合わせます。
積分の範囲は関数の定義域に依存します。
区間で定義される関数を扱うことが多く、積分範囲は
とすることが多いです。
結合律
\begin{equation}
(f*g)*h = f*(g*h)
\end{equation}
左辺について、
\begin{equation}
(f*g)(u) = \int f(v) \, g(u -v) \, dv
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\left( (f*g)*h \right) (x) &=& \int (f*g)(u) \, h(x -u) \, du \\
&=& \int \left( \int f(v) \, g(u -v) \, dv\right) \, h(x -u) \, du \tag{1-1}
\end{eqnarray}となります。
右辺については、
\begin{equation}
(g*h)(x -v) = \int g(v) \, h(x -v -u) \, du
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\left( f*(g*h) \right) (x) &=& \int f(v) \, (g*h)(x -v) \, dv \\
&=& \int f(v) \left( \int g(u) \, h(x -v -u) \, du \right) \, dv \tag{2-1}
\end{eqnarray}となります。
式(1-1), (2-1)をそれぞれ
\begin{eqnarray}
\left( (f*g)*h \right) (x) &=& \int du \, \int dv \, f(v) \, g(u -v) \, h(x -u) \tag{1-2} \\
\left( f*(g*h) \right) (x) &=& \int dv \, \int du \, f(v) \, g(u) \, h(x -v -u) \tag{2-2}
\end{eqnarray}と表記しておきます。
逐次積分の表記 - 数式で独楽する
積分は、多くの場合、順序を入れ替えることが可能です。
二重積分の特殊な形 - 数式で独楽する
その仮定で、式(1-2)において、
\begin{equation}
\left( (f*g)*h \right) (x) = \int dv \, \int du \, f(v) \, g(u -v) \, h(x -u)
\end{equation}とできます。
さらに
\begin{equation}
u' = u -v
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
du' = du
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\left( (f*g)*h \right) (x) = \int dv \, \int du' \, f(v) \, g(u') \, h(x -v -u') \tag{1-3}
\end{equation}となります。
式(1-3), (2-2)を比較すると、右辺が同じ形をしています。
\begin{equation}
(f*g)*h = f*(g*h)
\end{equation}であることが分かります。
