定数倍の畳み込み - 数式で独楽する

関数の畳み込みとは、2つの関数から第3の関数を合成する演算をいい、

\begin{equation}
(f*g)(x) = \int f(u) \, g(x -u) \, du
\end{equation}と定義します。
片方を移動させながら、もう片方を重ねて足し合わせます。
積分の範囲は関数の定義域に依存します。
区間 $(-\infty, \infty)$ で定義される関数を扱うことが多く、積分範囲は $(-\infty, \infty)$ とすることが多いです。

定数倍
\begin{equation}
a(f*g) = (af)*g = f*(ag)
\end{equation}

定数倍の畳み込みは、畳み込みの定数倍です。
定義に従って表記し、定数を前に出せば示すことができます。
\begin{eqnarray}
\left( (af)*g \right) (x) &=& \int \left( af(u) \right) \, g(x -u) \, du \\
&=& a \int f(u) \, g(x -u) \, du \\
&=& a(f*g)(x) \\
\\
\left( f*(ag) \right) (x) &=& \int f(u) \, \left( ag(x -u) \right) \, du \\
&=& a \int f(u) \, g(x -u) \, du \\
&=& a(f*g)(x)
\end{eqnarray}
まとめて、
\begin{equation}
a(f*g) = (af)*g = f*(ag)
\end{equation}です。