とし、
で定義された関数
を考える。
のグラフより下側で
軸より上側の部分の面積を
を用いて表せ。ただし、
は自然対数の底である。
解答例
\begin{eqnarray}
g(x) &=& \frac{e}{x^a} \\
h(x) &=& \frac{\log x}{x}
\end{eqnarray}とします。
は
で単調減少で、
\begin{equation}
g(e^{1/a}) = 0
\end{equation}です。
\begin{equation}
h'(x) = \frac{1 -\log x}{x^2}
\end{equation}なので、の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & e & \cdots & \infty \\ \hline
h'(x) && + & + & + & 0 & - & \\ \hline
h(x) & -\infty & \nearrow & 0 & \nearrow & 1/e & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}
以上より、の正負は次の通りとなります。
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & e^{1/a} & \cdots \\ \hline
g(x) && + & + & + & 0 & - \\
h(x) && - & 0 & + & + & + \\ \hline
f(x) && - & 0 & + & 0 & - \\ \hline
\end{array}
したがって、求める面積は
\begin{equation}
S = \int_1^{e^{1/a}} \left( \frac{e}{x^a} -1 \right) \frac{\log x}{x} \, dx
\end{equation}で得ることができます。
\begin{equation}
x = e^t
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
dx = e^t \, dt
\end{equation}で、変数の対応は次の通りです。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & 1 & \cdots & e^{1/a} \\ \hline
t & 0 & \cdots & 1/a \\ \hline
\end{array}
これより、
\begin{eqnarray}
S &=& \int_0^{1/a} (e^{-at +1} -1) \, t \, e^{-t} \cdot e^t \, dt \\
&=& \int_0^{1/a} (e^{-at +1} -1) \, t \, dt
\end{eqnarray}となります。
各項の積分は
\begin{eqnarray}
\int_0^{1/a} t \, dt &=& \left[ \frac{1}{2} \, t^2 \ \right]_0^{1/a} \\
&=& \frac{1}{2a^2} \\
\int_0^{1/a} t \, e^{-at +1} \, dt &=& \left[ \frac{1}{-a} \, t \, e^{-at +1} \right]_0^{1/a} +\frac{1}{a} \int_0^{1/a} e^{-at +1} dt \\
&=& -\frac{1}{a^2} -\left[ \frac{1}{a^2} \, e^{-at +1} \right]_0^{1/a} \\
&=& -\frac{2}{a^2} +\frac{e}{a^2}
\end{eqnarray}です。
よって、求める面積は
\begin{equation}
S = \frac{2e -5}{2a^2}
\end{equation}です。
