次の定積分の値を求めよ。 \begin{equation} \int_0^\sqrt{3} \frac{x \sqrt{x^2 +1} +2x^3 +1}{x^2 +1} \, dx \end{equation}

は虚数単位とする。複素数が、絶対値が2である複素数全体を動くとき、の最大値と最小値を求めよ。

は虚数単位とする。複素数が、絶対値が2である複素数全体を動くとき、の最大値と最小値を求めよ。

がで割り切れるような正の整数をすべて求めよ。

は実数で \begin{equation} 2025^x = 3^y = 5^z \end{equation}を満たすとする。このときであることを示せ。

平面上の線積分が始点と終点だけで定まり、積分経路に依存しないことと、 \begin{equation} \oint_C (P \, dx +Q \, dy) = 0 \tag{1} \end{equation}は同じです。

単連結領域*1においては連続かつ1階偏導関数も連続である場合、内の任意の閉曲線に対し *1:端的に言うと穴の開いていない領域です。単連結領域の任意の閉曲線は、連続的に1点に収縮させることができます。

平面上の線積分が始点と終点だけで定まり、積分経路に依存しないことと、 \begin{equation} \oint_C (P \, dx +Q \, dy) = 0 \tag{1} \end{equation}は同じです。ここでは任意の閉曲線です。

本稿からの一連の記事では、平面上の線積分が積分経路に依らない場合を、 数式で表現し、 その条件や性質を示して いきます。