関数の畳み込みとは、2つの関数から第3の関数を合成する演算をいい、
\begin{equation}
(f*g)(x) = \int f(u) \, g(x -u) \, du
\end{equation}と定義します。
片方を移動させながら、もう片方を重ねて足し合わせます。
積分の範囲は関数の定義域に依存します。
区間で定義される関数を扱うことが多く、積分範囲は
とすることが多いです。
微分
\begin{equation}
D(f*g) = (Df)*g = f*(Dg)
\end{equation}
ここでは微分演算子です。
それぞれの定義に従って計算していきます。
\begin{eqnarray}
D \left \{ (f*g)(x) \right \} &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(f*g)(x +\Delta x) -(f*g)(x)}{\Delta x} \\
&=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\displaystyle \int f(u) \, g(x +\Delta x -u) \, du -\int f(u) \, g(x -u) \, du}{\Delta x} \\
&=& \int f(u) \left \{ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x +\Delta x -u) -g(x -u)}{\Delta x} \right \} \, du \\
&=& \int f(u) \, (Dg)(x -u) \, du \\
&=& \left \{ f*(Dg) \right \} (x)
\end{eqnarray}つまり、
\begin{equation}
D(f*g) = f*(Dg)
\end{equation}を示せました。
一方、畳み込みは可換(交換可能)なので
畳み込みの交換律 - 数式で独楽する
\begin{equation}
D(f*g) = D(g*f) = g*(Df) = (Df)*g
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
D(f*g) = (Df)*g = f*(Dg)
\end{equation}を得ます。
