関数の畳み込みとは、2つの関数から第3の関数を合成する演算をいい
\begin{equation}
(f*g)(x) = \int f(u) \, g(x -u) \, du
\end{equation}と定義します。
片方を移動させながら、もう片方を重ねて足し合わせます。
積分の範囲は関数の定義域に依存します。
区間で定義される関数を扱うことが多く、積分範囲は
とすることが多いです。
交換律
\begin{equation}
f*g = g*f
\end{equation}
2つの関数を重ね合わせるので、前後を交換しても同じになるのは直感で分かります。ここでは数式で追いかけてみましょう。
関数の定義域をとしておきます。
畳み込みは
\begin{equation}
(f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(u) \, g(x -u) \, du \tag{1}
\end{equation}です。
式(1)で
\begin{equation}
v = x -u
\end{equation}とします。
すると、
\begin{equation}
dv = -du
\end{equation}で、積分範囲は
\begin{array}{|c|rcr|}
\hline
u & -\infty & \to & \infty \\ \hline
v & \infty & \to & -\infty \\ \hline
\end{array}なので、式(1)は
\begin{eqnarray}
(f*g)(x) &=& \int_\infty^{-\infty} f(x -v) \, g(v) \, (-dv) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty g(v) \, f(x -v) \, dv \\
&=& (g*f)(x)
\end{eqnarray}となります。
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
