2024年京大文系第3問別解 - 数式で独楽する

$n$ 色の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする。次の問いに答えよ。
(1) $p_3$ を求めよ。
(2) $p_4$ を求めよ。

色の塗り方は全部で $3^6$ 通りです。
条件を満たす塗り方は、同じ色を互いに向かい合う面に塗るよりありません。色の選び方は3!通りです。
よって、
\begin{equation}
p_3 = \frac{3!}{3^6} = \frac{2}{243}
\end{equation}です。

色の塗り方は全部で $4^6$ 通りです。
条件を満たす塗り方をすると、次の制約が課されます。

よって、
\begin{eqnarray}
p_4 &=& \frac{{}_4 P_3 +3\cdot 4!}{4^6} \\
&=& \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot(1 +3)}{4^6} \\
&=& \frac{3}{128}
\end{eqnarray}です。

2024年京大文系第3問 - 数式で独楽する
の別解です。
こちらでは、全ての塗り方の数と該当する塗り方の数をそれぞれ求めています。
条件を満たすように色を塗ろうとすると、必ず3色が必要になります。
3色の場合では相対する面に同じ色を塗ることになります。

4色で塗る場合は、3色で塗った場合の1面を4色目に置き換えることになります。なお、4色を用意していても、立方体の6面を3色で塗る場合を考える必要があります。