東大 2021年理科第4問その2 - 数式で独楽する

以下の問いに答えよ。
(1) 正の奇数 $K,L$ と正の整数 $A,B$ が $KA=LB$ を満たしているとする。 $K$ を4で割った余りが $L$ を4で割った余りと等しいならば、 $A$ を4で割った余りは $B$ を4で割った余りと等しいことを示せ。
(2) 正の整数 $a,b$ が $a>b$ を満たしているとする。このとき $A={}_{4a +1}C_{4b +1}, \ B= {}_a C_b$ に対して、 $KA=LB$ となるような正の奇数 $K,L$ が存在することを示せ。
(3) $a,b$ は(2)の通りとし、さらに $a,b$ が2で割り切れるとする。 ${}_{4a +1} C_{4b +1}$ を4で割った余りは ${}_a C_b$ を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4) ${}_{2021}C_{37}$ を4で割った余りを求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
小問(4)の解答例
小問(3), (4)の解説

小問(1)の解答例

小問(2)の解答例

\begin{eqnarray}
K &=& \left \{ (2b -1)(2b -3) \cdots 3 \cdot 1 \right \} \left \{ (4b +1)(4b -1)\cdots 3 \cdot 1 \right \} \\
L &=& \left[ (2a -1)(2a -3)\cdots \{ 2(a -b) +1\} \right] \left[ (4a +1)(4a -1)\cdots \{ 4(a -b) +1 \} \right]
\end{eqnarray}
ここまでは前回の記事をご覧ください。
東大 2021年理科第4問その1 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

小問(2)の結果より、 $K,L$$ 「連続する奇数の積」と「連続する奇数の積」の積となっています。奇数を4で割った余りは1か3です。以下、 $p \equiv q \mod 4$ を単に $p \equiv q$ と表記することとします。
$a -b$ が2で割り切れることを考慮すると、
\begin{eqnarray}
(2b -1)(2b -3)\cdots 3 \cdot 1 & \equiv & \left \{ \begin{array}{ll}
3^{(b -1)/2} & (\mbox{if $b$ is odd}) \\
3^{b/2} & (\mbox{if $b$ is even})
\end{array} \right. \\
(4b +1)(4b -1)\cdots 3 \cdot 1 & \equiv & 3^b \\
(2a -1)(2a -3)\cdots \{ 2(a -b) +1\} & \equiv & \left \{ \begin{array}{ll}
3^{(b -1)/2} & (\mbox{if $b$ is odd}) \\
3^{b/2} & (\mbox{if $b$ is even})
\end{array} \right. \\
(4a +1)(4a -1)\cdots \{ 4(a -b) +1 \} & \equiv & 3^b
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
K \equiv L
\end{equation}となります。
よって、4で割った余りが等しくなることが示されました。(証明終わり)

小問(4)の解答例

小問(3)の結果を用いて、
\begin{eqnarray}
{}_{2021} C_{37} & \equiv & {}_{505} C_9 \\
&=& \frac{505 \cdot 504 \cdot 503 \cdot 502 \cdot 501 \cdot 500 \cdot 499 \cdot 498 \cdot 497}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&=& \frac{505 \cdot 1 \cdot 503 \cdot 251 \cdot 167 \cdot 25 \cdot 499 \cdot 83 \cdot 497}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} \\
&=& 505 \cdot 503 \cdot 251 \cdot 167 \cdot 25 \cdot 499 \cdot 83 \cdot 497 \\
& \equiv & 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 1 \\
&=& -1 \\
& \equiv & 3
\end{eqnarray}
ゆえに、求める余りは3となります。*1

小問(3), (4)の解説

小問(3)では、連続する奇数の中に4で割ると3余る数の個数を数えることになります。連続する個数は $K,L$ で同じです。
小問(4)は小問(3)の結果を用います。小問(2)と(3)を見て途方に暮れれば、(1)と(4)を攻めることになります。小問(4)は4択か2択(1か3)になりますが、答えだけ書いても点は貰えないでしょうね。

*1:途中の約分は、504=7×8×9, 502=2×251, 501=3×167, 500=4×5×25, 498=6×83で、分母は1になります。