を2以上の整数とする。

を2以上の整数とする。

は整数で、とする。サイコロを回投げて出た目の和を5で割った余りがになる確率をとする。

は整数で、とする。サイコロを回投げて出た目の和を5で割った余りがになる確率をとする。

は整数で、とする。サイコロを回投げて出た目の和を5で割った余りがになる確率をとする。

数列を次の式で定める。

青玉個、赤玉個、白玉個、合計個の玉が入っている袋がある。この袋から無作為に1個の玉を取り出し、色を見て袋に戻す。これを回繰り返す。取り出される玉の色の数の期待値をとするとき、

黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。

1個のさいころを回投げて、回目に出た目をとする。を \begin{equation} b_n = \sum_{k = 1}^n {a_1}^{n -k} a_k \end{equation}により定義し、が7の倍数となる確率をとする。 (1) を求めよ。 (2) 数列の一般項を求めよ。

\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\pi (x^2 +1)} \tag{1} \end{equation}なる確率密度関数で記述される分布を標準コーシー分布といいます。

を自然数とする。1個のさいころを回投げるとき、出た目の積が5で割り切れる確率を求めよ。

を自然数とする。1個のさいころを回投げ、出た目を順にとし、個の積をとする。

1枚の宝くじを買ったとき、当せん金の期待値はいくらか？ ということについて考えてみます。

1からまでの番号が、順番に1つずつ書かれた枚の札が袋に入っている。この袋の中から札を1枚ずつ取り出し、つぎの(i), (ii)のルールに従ってAまたはBの箱に入れる。

チームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべてで、各回の勝敗は独立に決まるものとする。このとき、勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。ただし、は…

を自然数とする。個の箱があり、1からまでの番号が付いている。番号1からまでの箱に入っている玉は白玉で、番号の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作(*)を、各々のに対して、が小さい方から順番に1回ずつ行う。

\begin{equation} {{}_n C_0}^2 +{{}_n C_1}^2 +{{}_n C_2 }^2 +\cdots +{{}_n C_n}^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 -\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{(-1)^n \, {}_n C_n}{n +1} = \frac{1}{n +1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_1 -2 \, {}_n C_2 +\cdots +(-1)^{n -1} n \, {}_n C_n = 0 \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_1 +2 \, {}_n C_2 +\cdots +n \, {}_n C_n = n \cdot 2^{n -1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 +\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{{}_n C_n}{n +1} = \frac{2^{n +1} -1}{n +1} \end{equation}

二項係数の関係 \begin{equation} {}_n C_r = {}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation} を用いると、二項係数を次々と求めることができます。

\begin{equation} {}_n C_r = +{}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_r = +{}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 +{}_n C_2 +{}_n C_4 +\cdots = {}_n C_1 +{}_n C_3 +{}_n C_5 +\cdots = 2^{n -1} \end{equation}

\begin{equation} \sum_{r = 0}^n (-1)^r {}_n C_r = {}_n C_0 -{}_n C_1 +{}_n C_2 -{}_n C_3+\cdots = 0 \end{equation}

二項係数の性質をまとめます。

枚の100円玉と枚の500円玉を同時に投げたとき、表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。

\begin{equation} {}_n C_k = {}_n C_{n -k} \end{equation}

\begin{equation} {}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n \end{equation}