2024年東北大理系第1問 - 数式で独楽する

$a$ を正の実数とし、 $f(x) = x^2 -ax +4a^2$ とする。Oを原点とする $xy$ 平面上の放物線 $C \ : \ y = f(x)$ の頂点をAとする。直線OAと $C$ の交点のうちAと異なるものをP $\left( p, \, f(p) \right)$ とし、Oから $C$ へ引いた接線の接点をQ $\left( q, \, f(q) \right)$ とする。ただし、 $q > 0$ とする。
(1) $p,q$ の値を $a$ を用いて表せ。また、 $p > q$ であることを示せ。
(2) 放物線 $C$ の $q \leqq x \leqq p$ の部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積を $S$ とおく。 $S$ を $a$ を用いて表せ。
(3) (2)の $S$ に対し、 $\displaystyle S= \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
f(x) &=& x^2 -2ax +4a^2 \tag{0} \\
&=& (x -a)^2 +3a^2 \tag{1} \\
f'(x) &=& 2(x -a) \tag{2}
\end{eqnarray}です。

式(1)より、A $(a, 3a^2)$ で、直線OAを表す式は
\begin{equation}
y = 3ax \tag{3}
\end{equation}となります。

式(0), (3)より、直線OAと $C$ との交点P $\left( p, \, f(p) \right)$ は
\begin{equation}
p^2 -2ap +4a^2 = 3ap
\end{equation}を満たします。整理すると
\begin{eqnarray}
p^2 -5ap +4a^2 &=& 0 \\
(p -a)(p -4a) &=& 0
\end{eqnarray}となります。
$p \ne a$ なので、
\begin{equation}
p = 4a \tag{4}
\end{equation}を得ます。(答)

式(0), (2)より、接線OQの式は
\begin{equation}
y = 2(q -a)(x -q) +q^2 -2aq +4a^2
\end{equation}と表すことができます。
$(x,y) = (0,0)$ を通るので、
\begin{equation}
0 = -2q(q -a) +q^2 -2aq +4a^2
\end{equation}を満たします。整理すると
\begin{eqnarray}
q^2 --4a^2 &=& 0 \\
(q +2a)(q -2a) &=& 0
\end{eqnarray}となります。
$a > 0, \ q > 0$ なので、
\begin{equation}
q = 2a \tag{5}
\end{equation}を得ます。(答)

また、式(4), (5)より
\begin{equation}
p > q
\end{equation}を得ます。(証明終わり)

小問(2)の解答例

小問(1)の結果により、
\begin{eqnarray}
f(p) &=& f(4a) \\
&=& 16a^2 -8a^2 +4a^2 \\
&=& 12a^2 \\
f(q) &=& f(2a) \\
&=& 4a^2 -4a^2 +4a^2 \\
&=& 4a^2
\end{eqnarray}を得ます。
したがって、P $(4a, \, 12a^2)$ , Q $(2a, \, 4a^2)$ となります。
ここで、P' $(4a, 0)$ , Q $(2a, 0)$ とします。

$S_1$ : △OPP'の面積
$S_2$ : △OQQ'の面積
$S_3$ : 曲線PQと $x$ 軸に挟まれた領域の面積

とすると、
\begin{equation}
S = S_1 -S_2 -S_3 \tag{6}
\end{equation}です。
$S_1, S_2, S_3$ を求めると、次の通りとなります。
\begin{eqnarray}
S_1 &=& \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot 12a^2 \\
&=& 24a^3 \tag{7} \\
S_2 &=& \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 4a^2 \\
&=& 4a^3 \tag{8} \\
S_3 &=& \int_q^p f(x) \, dx \\
&=& \int_{2a}^{4a} (x^2 -2ax.+4a^2) \, dx \\
&=& \left[ \frac{1}{3} \, x^3 -ax^2 +4a^2 x \right]_{2a}^{4a} \\
&=& \left( \frac{64}{3} \, a^3 -16a^3 +16a^3 \right) -\left( \frac{8}{3} \, a^3 -4a^3 +8a^3 \right) \\
&=& \left( \frac{56}{3} -4 \right) \, a^3 \\
&=& \frac{44}{3} \, a^3 \tag{9}
\end{eqnarray}
したがって、式(6)～(9)をまとめて、
\begin{eqnarray}
S &=& \left( 24 -4 -\frac{44}{3} \right) \, a^3 \\
&=& \frac{16}{3} \, a^3
\end{eqnarray}を得ます。(答)

小問(3)の解答例

小問(2)の結果により、
\begin{equation}
S = \frac{2}{3} = \frac{16}{3} \, a^3
\end{equation}となります。これより
\begin{equation}
a^3 = \frac{1}{8}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
a = \frac{1}{2}
\end{equation}を得ます。(答)