以下の問いに答えよ。
(1) 正の奇数
と正の整数
が
を満たしているとする。
を4で割った余りが
を4で割った余りと等しいならば、
を4で割った余りは
を4で割った余りと等しいことを示せ。
(2) 正の整数
が
を満たしているとする。このとき
に対して、
(3)
を4で割った余りは
を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)
を4で割った余りを求めよ。
小問(1)の解答例
\begin{eqnarray}
K &=& 4k +R \\
L &=& 4l +R \\
A &=& 4a +r \\
B &=& 4b +r'
\end{eqnarray}とします。ここでは全て自然数で、
です。
これより、
\begin{eqnarray}
KA &=& 16ka +4(kr +Ra) +Rr \\
LB &=& 16lb +4(lr' +Rb) +Rr'
\end{eqnarray}となります。
なので、
\begin{equation}
Rr = Rr'
\end{equation}が成り立ちます。
設問の前提からなので、
\begin{equation}
r = r'
\end{equation}を得ます。
つまり、を4で割った余りは等しいことを示すことができました。(証明終わり)
小問(2)の解答例
定義に従ってを書き下します。さらに、4の倍数、4で割って2余る数、奇数に分けます。
\begin{eqnarray}
{}_{4a +1}C_{4b +1} &=& \frac{(4a +1)(4a)(4a -1)\cdots (4a -4b +2)(4a -4b +1)}{(4b +1)(4b)(4b -1)\cdots 2 \cdot 1} \\
&=& \frac{4a \cdot 4(a -1) \cdot \cdots \cdot 4(a -b +2) \cdot 4(a -b +1)}{4b \cdot 4(b -1) \cdot \cdots \cdot (4\cdot 2) \cdot (4\cdot 1)} \\
&& \times \frac{2(2a -1) \cdot 2(2a -3) \cdot \cdots \cdot 2\{ 2(a -b) +3\} \cdot 2\{ (a -b) +1\} }{2(2b -1) \cdot 2(2b -3) \cdot \cdots \cdot (2\cdot 3) \cdot (2\cdot 1)} \\
&& \times \frac{(4a +1)(4a -1)\cdots(4a -4b +3)(4a -4b +1)}{(4b +1)(4b -1)\cdots 3 \cdot 1} \\
&=& _a C_b \times \frac{(2a -1)(2a -3)\cdots \{ 2(a -b) +3\} \{ 2(a -b) +1\} }{(2b -1)(2b -3) \cdots 3 \cdot 1} \\
&& \times \frac{(4a +1)(4a -1)\cdots(4a -4b +3)(4a -4b +1)}{(4b +1)(4b -1)\cdots 3 \cdot 1} \\
\end{eqnarray}
したがって、
\begin{eqnarray}
K &=& \left \{ (2b -1)(2b -3) \cdots 3 \cdot 1 \right \} \left \{ (4b +1)(4b -1)\cdots 3 \cdot 1 \right \} \\
L &=& \left[ (2a -1)(2a -3)\cdots \{ 2(a -b) +3\} \{ 2(a -b) +1\} \right] \\
&& \times \left[ (4a +1)(4a -1)\cdots \{ 4(a -b) +3\} \{ 4(a -b) +1 \} \right]
\end{eqnarray}とすれば
\begin{equation}
KA = LB
\end{equation}とすることができます。*1(証明終わり)
小問(1), (2)の解説
小問(1)では、元の数を商と余りに分割して考えれば良いです。
小問(2)は定義通りにを書き下し、
との共通点を見つけて、異なる部分を上手に表現することに尽きます。
小問(3)の解答例
小問(4)の解答例
*1:二重階乗を用いると、 \begin{eqnarray} K &=& (2b -1)!! (4b +1)!! \\ L &=& \frac{(2a -1)!!}{\{ 2(a -b) -1 \} !!} \frac{(4a +1)!!}{\{ 4(a -b) -1 \} !!} \end{eqnarray}となります。 逆正弦関数の級数展開 - 数式で独楽する
