色の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を
とする。次の問いに答えよ。
(1)
を求めよ。
(2)
を求めよ。
小問(1)の解答例
2024年 京大 文系 第3問 - 数式で独楽する
を参照ください。
小問(2)の解答例
立方体の各面に、1から6までの番号を付けることにします。番号を付けても一般性を失いません。
さいころ(骰子、賽子)のように、1と6、2と5、3と4は互いに向かい合うものとします。
使った色が、3, 4, 5, 6色となる場合のそれぞれを考えます。
(i) 3色の場合
色1~3の塗り方と色を選ぶ確率は次の通りです。
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mbox{面} & \mbox{色} & \mbox{確率} \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & \frac{n -1}{n} \\
3 & 3 & \frac{n -2}{n} \\
4 & 3 & \frac{1}{n} \\
5 & 2 & \frac{1}{n} \\
6 & 1 & \frac{1}{n} \\ \hline
\end{array}
(ii) 4色の場合
色1~4の塗り方と色を選ぶ確率は次の通りです。
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mbox{面} & \mbox{色} & \mbox{確率} \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & \frac{n -1}{n} \\
3 & 3 & \frac{n -2}{n} \\
4 & c & (*) \\
5 & b & (*) \\
6 & a & (*) \\ \hline
\end{array}
ただし、
\begin{equation}
(a,b,c) = (4,2,3), \ (1,4,3), \ (1,3,4)
\end{equation}のいずれかです。
確率(*)は
- 色4となる箇所が
- それ以外は
です。
(iii) 5色の場合
色1~5の塗り方と色を選ぶ確率は次の通りです。
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mbox{面} & \mbox{色} & \mbox{確率} \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & \frac{n -1}{n} \\
3 & 3 & \frac{n -2}{n} \\
4 & c & (**) \\
5 & b & (**) \\
6 & a & (**) \\ \hline
\end{array}
ただし、
\begin{equation}
(a,b,c) = (1,4,5), \ (4,2,5), \ (4,5,3)
\end{equation}のいずれかです。
確率(**)は
- 色4となる箇所が
- 色5となる箇所が
- それ以外は
です。
(iv) 6色の場合
色1~6の塗り方と色を選ぶ確率は次の通りです。
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mbox{面} & \mbox{色} & \mbox{確率} \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & \frac{n -1}{n} \\
3 & 3 & \frac{n -2}{n} \\
4 & 4 & \frac{n -3}{n} \\
5 & 5 & \frac{n -4}{n} \\
6 & 6 & \frac{n -5}{n} \\ \hline
\end{array}
(i)~(iv)をまとめると、
\begin{eqnarray}
p_n &=& \frac{(n -1)(n -2)}{n ^5} +\frac{3(n -1)(n -2)(n -3)}{n^5} \\
&& +\frac{3(n -1)(n -2)(n -3)(n -4)}{n^5} \\
&& +\frac{(n -1)(n -2)(n -3)(n -4)(n -5)}{n^5}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} p_n &=& 0 +0 +0 \\
&& +\lim_{n \to \infty} \left( 1 -\frac{1}{n} \right) \left( 1 -\frac{2}{n} \right) \left( 1 -\frac{3}{n} \right) \left( 1 -\frac{4}{n} \right) \left( 1 -\frac{5}{n} \right) \\
&=& 1
\end{eqnarray}となります。
解説
2024年 京大 文系 第3問 - 数式で独楽する
でも述べていますが、必ず3色は必要になります。
また、何色用意していようと、使用する色は3~6色のいずれかで、そのそれぞれを考慮しています。
色の数が増えると、条件を満たす塗り方が九分九厘できるであろうことは、想像にかたくありません。
こちらも別解があります。
2024年 京大 理系 第1問 別解 - 数式で独楽する
2024年 京大 理系 第1問 別解2 - 数式で独楽する
