2024年京大文系第3問 - 数式で独楽する

$n$ 色の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする。次の問いに答えよ。
(1) $p_3$ を求めよ。
(2) $p_4$ を求めよ。

立方体の各面に、1から6までの番号を付けることにします。番号を付けても一般性を失いません。
さいころ(骰子、賽子)のように、1と6、2と5、3と4は互いに向かい合うものとします。

面1~6に色1~3を塗る場合、塗り方と色を選ぶ確率は次の通りです。

よって、
\begin{equation}
p_3 = 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{2}{243}
\end{equation}となります。

塗った結果、3色または4色のいずれかとなります。

3色の場合、色1~3の塗り方と色を選ぶ確率は次の通りです。

4色の場合は色1~4の塗り方と色を選ぶ確率は次の通りです。

ただし、
\begin{equation}
(a,b,c) = (4,2,3), \ (1,4,3), \ (1,3,4)
\end{equation}のいずれかです。

よって、
\begin{equation}
p_4 = \frac{3 \cdot 2}{4^5} \times 4 = \frac{3}{128}
\end{equation}となります。

を塗ると、

が必ず必要になります。
相対する面に同じ色を塗ると、色の数は3で済みます。3色を用意する場合、塗り方はこのパターンしかありません。

4色で塗る場合は、4, 5, 6の面のいずれかを4色目に変えれば良いです。なお、4色を用意していても、立方体の6面を3色で塗る場合を考える必要があります。