京大 1991年前期理系第6問その1

関数 $y=f(x) \ (x \geqq 0)$ は次の条件①、②を満たしている。
①　 $f(x)$ は微分可能で $f'(x)$ は連続、かつ $f(x) > 0$
②　正の定数 $a$ があって $\displaystyle \int_0^x \bigl( f(t) \bigr)^{-a} dt = \int_a^{f(x)} \left( e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} \right) dt$
(1) ②の等式の両辺を $x$ について微分して得られる( $y$ の満たす)微分方程式を書け。また $f(0)$ の値を求めよ。
(2) 正の定数 $b,c$ があって次の不等式(イ)、(ロ)を満たしていることを示せ。
(イ)　 $b \leqq f'(x) \leqq 1$
(ロ)　 $\displaystyle 0 \leqq f(x) \left( \frac{1}{f'(x)} -1 \right) \leqq c$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)$ を求めよ。また $f'(x)$ の最小値を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(1)の解説
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例

小問(1)の解答例

式②の両辺を $x$ で微分すると、
\begin{equation}
\bigl( f(x) \bigr)^{-a} = \left( e^{- \frac{\left( f(x) \right)^2}{2}} + \bigl( f(x) \bigr)^{-a} \right) f'(x)
\end{equation}を得ます。
$y=f(x)$ なので、
\begin{eqnarray}
y' &=& \frac{y^{-a}}{e^{- \frac{y^2}{2}} + y^{-a}} \\
\therefore \quad y' &=& \frac{1}{y^a e^{- \frac{y^2}{2}} +1} \tag{1.1}
\end{eqnarray}となります。

また、式②で $x=0$ とすると、
\begin{equation}
0 = \int_a^{f(0)} \left( e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} \right) dt \tag{1.2}
\end{equation}を得ます。
ここで右辺の積分される関数に注目します。
関数の定義域は $t \geqq 0$ を考慮すればよく、このとき
\begin{eqnarray}
e^{- \frac{t^2}{2}} &>& 0 \\
t^{-a} &>& 0
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} > 0
\end{equation}となります。
積分される関数は正なので、式(1.2)が成立するのは
\begin{equation}
f(0) = a \tag{1.3}
\end{equation}となります。

小問(1)の解説

まず、設問に書いてある通り、式②の両辺を微分することになります。
微分と積分は逆の関係なので、式②の左辺は
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \int_0^x \bigl( f(t) \bigr)^{-a} dt = \bigl( f(x) \bigr)^{-a}
\end{equation}となります。
積分について - 数式で独楽する

また、式②の右辺は合成関数の微分
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}
\end{equation}で対応します。
合成関数の微分 - 数式で独楽する

すなわち、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} \int_a^{f(x)} \left( e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} \right) dt
&=& \frac{d}{df(x)} \left \{ \int_a^{f(x)} \left( e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} \right) dt \right \} \frac{df(x)}{dx} \\
&=& \left( e^{- \frac{\left( f(x) \right)^2}{2}} + \bigl( f(x) \bigr)^{-a} \right) f'(x)
\end{eqnarray}となります。