定積分

関数のからまでの定積分とは、次のように定まる極限値をいいます。

• 関数が区間で連続である。
• 区間を等分し、その分点をとする。
• とする。
• このときに以下の式で定まる極限である。

\begin{eqnarray}
\int_a^b f(x)dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n -1} f(x_i) \Delta x = \lim_{n \to \infty} \left \{ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x_0)\Delta x + f(x_1)\Delta x + \cdots + f(x_{n -1})\Delta x \right \} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \lim_{n \to \infty} \left \{ \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + \cdots + f(x_n)\Delta x \right \} \\
\end{eqnarray}
ここでをそれぞれ定積分の下限、上限といいます。

以上、積分する区間を等分する前提で書きましたが、等分でなくてもよいです。
\begin{eqnarray}
\int_a^b f(x)dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n -1} f(t_i)\Delta x_{i -1} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta x_i
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
&\bullet &\Delta x_i = x_i -x_{i -1} \quad (i = 1,2,\cdots , n) \\
&\bullet & x_0 = a, \quad x_n = b \\
&\bullet & n \to \infty のとき、\Delta x_i \to 0\\
&\bullet & t_i \in [x_{i -1},x_i]
\end{eqnarray}
です。

似たようなことを
積分について - 数式で独楽する
で述べています。