解答例
底の変換と
対数の底の変換 - 数式で独楽する
対数の底の入れ替え - 数式で独楽する
\begin{equation}
\log_{10} x = \frac{\log x}{\log 10} = \log_{10} e \log x
\end{equation}
対数の積分
\begin{equation}
\int \log x \, dx = x \log x -x +C \quad (C: \mbox{積分定数})
\end{equation}を用いて変形していきます。
対数関数の不定積分 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\int_{10}^{100} \log_{10} x \, dx
&=& \log_{10} e \int_{10}^{100} \log x \, dx \\
&=& \log_{10} e \, \biggl[ x \log x \biggr]_{10}^{100} \\
&=& \log_{10} e \, (100 \log 100 -100 -10 \log 10 +10) \\
&=& \log_{10} e \, (200 \log 10 -10 \log 10 -90) \\
&=& 190 -90 \log_{10} e
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
n < 190 -90 \log_{10} e
\end{equation}となります。
これより
\begin{eqnarray}
n &<& 190 -90 \times 0.435 \\
n &<& 150.85
\end{eqnarray}を得ます。
よって、求める最大の自然数は
\begin{equation}
n = 150
\end{equation}となります。
解説
対数の底の変換を巧みに用いて、自然対数の積分に持ち込みます。
自然対数の積分は覚えていれば言うことなしですが、
\begin{equation}
(x \log x)' = \log x +1
\end{equation}が出てくれば問題ありません。
関数電卓には、右辺の式を直接打ち込んで値を求めることができるものがあります。
