半径の球の体積
は
\begin{equation}
V = \frac{4}{3}\, \pi r^3
\end{equation}であることは、中学校で習います。
ですが、なぜそうなるのかは、教えてくれません。
積分を上手に使うと、求めることができます。
\begin{eqnarray}
V &=& \iiint_V dV \\
&=& \iiint_V \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi \\
&=& \int_0^r \rho^2 \, d\rho \int_0^\pi \sin \theta \, d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \\
&=& \left[ \frac{1}{3} \, \rho^3 \right]_0^r \biggl[ -\cos \theta \biggr]_0^\pi \biggl[ \ \phi \ \biggr]_0^{2\pi} \\
&=& \frac{1}{3} \, r^3 \cdot 2 \cdot 2\pi \\
&=& \frac{4}{3} \, \pi r^3
\end{eqnarray}
微小な部分を集めることが積分ということと、
積分について - 数式で独楽する
積分の個人的解釈 - 数式で独楽する
微小な部分とは何か
ということが分かれば2行目の式は出せます。
ここでは、3次元極座標(球座標)の体積要素を考えています。
また、積分される関数が1変数の関数の積で表すことができるので、それぞれの定積分の積となります。
