数式で独楽する

数式を使って楽しむブログです

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極限

2000年前期 京大 理系 第6問 その3

は整数で、とする。サイコロを回投げて出た目の和を5で割った余りがになる確率をとする。

2000年前期 京大 理系 第6問 その2

は整数で、とする。サイコロを回投げて出た目の和を5で割った余りがになる確率をとする。

2000年前期 京大 理系 第6問 その1

は整数で、とする。サイコロを回投げて出た目の和を5で割った余りがになる確率をとする。

2000年前期 京大 理系 第5問

数列を次の式で定める。

2001年後期 京大 理系 第2問

正の整数に対し、多項式を、に対してはとし、のときはで帰納的に定める。とおくとき、を求めよ。また、のときが収束する実数の範囲を求めよ。

2023年東大 理科 第1問

(1) 正の整数に対し、 \begin{equation} A_k = \int_\sqrt{k \pi}^\sqrt{(k +1) \pi} \left| \sin \left( x^2 \right) \right| dx \end{equation} とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。 \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{(k +1) \pi}} \leqq A_k \leqq …

2023年 阪大 理系 第1問(2)

を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

2023年 阪大 理系 第1問(1)

を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

勾配の持つ意味

本稿では、スカラーの勾配の持つ意味について見ていきます。

ゼロのゼロ乗

ゼロのゼロ乗について考えていきます。 結論を先に述べると、「定義不能」です。

x^xの極限

\begin{equation} \lim_{x \to +0} x^x \end{equation} の極限について見ていきます。

x^r/e^xの極限

本稿では、はよりも強いことを見ていきます。は正の実数です。つまり、

x^n/e^xの極限

本稿では、はよりも強いことを見ていきます。は負でない整数です。つまり、

x/e^xの極限

本稿では、はよりも強いことを見ていきます。つまり、

中心力と角運動量の保存 その2

中心力とは、物体にかかる力が定点との距離のみで表され、その方向は定点またはその逆を向いている力をいいます。 中心力の場においては、角運動量が保存されます。

補題 : 指数関数-べき乗

本稿では、 指数関数vsべき乗(工場中) - 数式で独楽する の補題 負でない整数に対し、のとき \begin{equation} f_n (x) = e^x -\frac{x^n}{n!} > 0 \end{equation} を示していきます。

指数関数vsべき乗

本稿では、指数関数とべき乗(冪乗、巾乗)の強弱について見ていきます。 つまり、極限 \begin{equation} \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \end{equation}がどうなるかを見ていきます。

中心力と角運動量の保存

中心力とは、物体にかかる力が定点との距離のみで表され、その方向は定点またはその逆を向いている力をいいます。 中心力の場においては、角運動量が保存されます。

ベクトルの線積分

「線積分」とは、ある量を曲線に沿って積分することをいいます。

スカラーの線積分

「線積分」とは、ある量を曲線に沿って積分することをいいます。

曲線上の運動の加速度

曲線上を運動する物体の加速度は、単位接線ベクトルと主法線ベクトルで記述できます。両ベクトルは直交します。

主法線ベクトル

曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトルの変化を考えます。

曲率と曲率半径

曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトルの変化を考えます。

単位接線ベクトル

時刻、位置で滑らかに運動している物体の速度は

円運動の位置と速度

質点の円運動において、

2002年後期 京大 理系 第5問 その2別解

数列を \begin{equation} a_{n +1} = {a_n}^2 +2{b_n}^2, \ \ b_{n +1} = 2a_n b_n \quad (n \geqq 1) \end{equation}で定める。

2002年後期 京大 理系 第5問 その2

数列を \begin{equation} a_{n +1} = {a_n}^2 +2{b_n}^2, \ \ b_{n +1} = 2a_n b_n \quad (n \geqq 1) \end{equation}で定める。

2002年後期 京大 理系 第5問 その1

数列を \begin{equation} a_{n +1} = {a_n}^2 +2{b_n}^2, \ \ b_{n +1} = 2a_n b_n \quad (n \geqq 1) \end{equation}で定める。

2018年 東大 理科 第1問

関数の増減表をつくり、のときの極限を求めよ。

ディラックのデルタ関数の別表現その4の2

ディラックのデルタ関数は \begin{equation} \delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl} 0 & (x \ne 0) \\ \infty & (x = 0) \end{array} \right. \end{equation}