三角関数は、次のように表すことができます。
\begin{equation}
t = \tan \frac{\theta}{2}
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos \theta &=& \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
\tan \theta &=& \frac{2t}{1-t^2}
\end{eqnarray}
ある変数xが別の変数tの関数で表される、つまり
\begin{equation}
x=x(t)
\end{equation}のような場合、変数tを「媒介変数」といいます。
冒頭の式は、
半角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1 - \cos \theta}{2} \\
\cos^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1 + \cos \theta}{2} \\
\tan^2 \frac{\theta}{2} &=& \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
\end{eqnarray}
を用いて導くことができます。
まず、コサインです。
\begin{equation}
\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
\end{equation}において、
\begin{equation}
t = \tan \frac{\theta}{2}
\end{equation}とおくと、
\begin{equation}
t^2 = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
\end{equation}となります。
この式をについて解いていきます。
\begin{eqnarray}
(1 + \cos \theta) t^2 &=& 1 - \cos \theta \\
(1+t^2) \cos \theta &=& 1-t^2 \\
\therefore \cos \theta &=& \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{eqnarray}
最後の「∴」は「ゆえに」を意味する記号です。
上下逆の「∵」は「なぜならば」を意味します。
次にサインです。
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \\
&=& 2\tan \frac{\theta}{2} \cos^2 \frac{\theta}{2} \\
&=& 2\tan \frac{\theta}{2} \cdot \frac{1+\cos \theta}{2} \\
&=& 2t \cdot \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) \\
&=& \frac{2t}{1 + t^2}
\end{eqnarray}
最後にタンジェントです。
\begin{eqnarray}
\tan \theta &=& \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\
&=& \frac{\ \displaystyle \frac{2t}{1 + t^2} \ }{\displaystyle \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \\
&=& \frac{2t}{1 - t^2}
\end{eqnarray}
このように、媒介変数を用いて三角関数を別の形で表現できるのです。
