次の定積分の値を求めよ。
\begin{equation}
\int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos x}
\end{equation}
求める定積分を
\begin{equation}
J = \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos x}
\end{equation}とします。
\begin{eqnarray}
J &=& \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x \, dx}{\cos^2 x} \\
&=& \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x \, dx}{1 - \sin^2 x}
\end{eqnarray}と変形すれば、置換積分を使える形になります。
置換積分 - 数式で独楽する
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
t = \sin x
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
dt = \cos x \, dx
\end{equation}です。
積分範囲の
\begin{equation}
0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}
\end{equation}は、
\begin{equation}
0 \leqq t \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
J = \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{dt}{1 - t^2}
\end{equation}となります。
積分の中身は、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{1 - t^2} &=& \frac{1}{(1 + t)(1 - t)} \\
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + t} + \frac{1}{1 - t} \right)
\end{eqnarray}となります。
分母を因数分解した後、部分分数展開をしています。
「2次関数」の逆数が「1次関数」の逆数になりました。
積分を計算していきます。
「1次関数」の逆数は、対数関数です。
対数の性質を駆使して分母を有理化します。
\begin{eqnarray}
J &=& \frac{1}{2} \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{1}{1 + t} + \frac{1}{1 - t} \right) \, dt \\
&=& \frac{1}{2} \biggl[ \ \log|1 + t| - \log|1 - t| \ \biggr]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \ \log \, \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| \ \right]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=& \frac{1}{2} \, \left( \log \cfrac{1 + \cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \cfrac{1}{\sqrt{2}}} - 0 \right) \\
&=& \frac{1}{2} \, \log \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \\
&=& \frac{1}{2} \, \log \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{1} \\
&=& \log (\sqrt{2} + 1)
\end{eqnarray}を得ます。*1
補足
本問も、問1
京大 2019年 前期 理系 第1問の問1 - 数式で独楽する
とひとまとめにして出されています。
ということは、問1の結果を用いていくのだろうと考えるのですが、本問ではそれがトラップになっています。
また(1)と似た形の定積分を求めさせていますが、(1)と同じように解こうとすると、これまたトラップにかかってしまいます。
京大 2019年 前期 理系 第1問の問2(1) - 数式で独楽する
(1)と同じようにしていきます。
\begin{eqnarray}
J &=& \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \\
&=& \biggl[ \ \cos x \, \tan x \ \biggr]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} + \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \sin x \, \tan x \, dx
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
\sin x \, \tan x &=& \frac{\sin^2 x}{\cos x} \\
&=& \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} \\
&=& \frac{1}{\cos x} - \cos x
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
J &=& \frac{1}{\sqrt{2}} + \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{\cos x} - \cos x \right) \, dx \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}} + J - \biggl[ \ \sin x \ \biggr]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}} + J - \frac{1}{\sqrt{2}} \\
&=& J
\end{eqnarray}となります。
自家撞着となってしまい、上手くいきません。
*1:本問は、正割の積分そのものです。 三角関数の不定積分4 ~ 正割の不定積分 - 数式で独楽する
