直交座標系の体積分における体積要素は
\begin{equation}
dV = dx \, dy \, dz
\end{equation}です。
直交座標系を別の座標系に変換すると、
\begin{equation}
dV = \left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right| du \, dv \, dw \tag{1}
\end{equation}となります。
ここにはヤコビ行列式(ヤコビアン)といい、
\begin{eqnarray}
\left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right| &=& \det \left( \begin{array}{ccc}
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial w} \\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial w} \\
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial w} \end{array} \right) \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial w} \\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial w} \\
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial w} \end{array} \right|
\end{eqnarray}で表します。
式(1)は1次元での置換積分
\begin{equation}
dy = \frac{dy}{dx} \, dx
\end{equation}と形が似ています。
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
謎の記号は別の記事で紹介する予定です。
偏微分 - 数式で独楽する
さて、直交座標系を極座標系
に変換することを考えます。
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta
\end{eqnarray}
これより、
\begin{eqnarray}
&& \frac{\partial x}{\partial r} = \sin \theta \cos \phi, & \quad & \frac{\partial x}{\partial \theta} = r \cos \theta \cos \phi, & \quad & \frac{\partial x}{\partial \phi} = -r \sin \theta \sin \phi \\
&& \frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta \sin \phi, & \quad & \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta \sin \phi, & \quad & \frac{\partial y}{\partial \phi} = r \sin \theta \cos \phi \\
&& \frac{\partial z}{\partial r} = \cos \theta, & \quad & \frac{\partial z}{\partial \theta} = -r \sin \theta, & \quad & \frac{\partial z}{\partial \phi} = 0
\end{eqnarray} なので、ヤコビ行列式は、
\begin{eqnarray}
\left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta, \phi)} \right| &=& \left|
\begin{array}{ccc}
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial \theta} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi} \\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial \theta} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial \phi} \\
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial \theta} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial \phi}\end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
\sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & -r \sin \theta \sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\
\cos \theta & - r \sin \theta & 0
\end{array} \right| \\
&=& r^2 \sin \theta \left| \begin{array}{ccc}
\sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\
\cos \theta & - \sin \theta & 0
\end{array} \right| \\
&=& r^2 \sin \theta \left| \begin{array}{ccc}
\cos \phi & -\sin \phi & 0 \\
\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|
\left| \begin{array}{ccc}
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos \theta & -\sin \theta & 0
\end{array} \right| \\
&=& r^2 \sin \theta \cdot 1 \cdot 1 \\
&=& r^2 \sin \theta
\end{eqnarray}となります。
これより、極座標系における体積要素
\begin{eqnarray}
dx \, dy \, dz &=& \left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta, \phi)} \right| dr \, d\theta \, d\phi \\
&=& r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi
\end{eqnarray}を得ます。
図で示すと次のように考えることができます。
体積要素は、微小長さ×微小長さ×微小長さです。
直交座標系ではdx dy dzですが、極座標系での微小長さ×微小長さ×微小長さは
\begin{equation}
dr \cdot r \, d\theta \cdot r \sin \theta \, d\phi= r^2 \sin \theta \, dr \, d \theta \, d\phi
\end{equation}となります。
図は2次元ですが、画面の奥行き方向がの変化する方向とお考えください。
