スカラー$u$のラプラシアンを2次元の極座標系$(r, \theta)$で表すと、次のようになります。
勾配の発散 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}のとき、
\begin{eqnarray}
\nabla^2 u &=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\end{eqnarray}
変数が１つだけの場合、合成関数の微分
合成関数の微分 - 数式で独楽する
は
\begin{equation}
\frac{du}{dx} = \frac{du}{dr} \frac{dr}{dx}
\end{equation}ですが、変数が2つの場合は次のようになります。
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x}
\end{equation}
これを踏まえて、極座標でのラプラシアンを強引に求めていきます。
しばらく、偏微分の別の表記
\begin{equation}
u_x = u_r r_x + u_\theta \theta_x
\end{equation}などを用いていくことにします。
まず、$u_{xx}$は、
\begin{eqnarray}
u_{xx} &=& (u_r r_x + u_\theta \theta_x)_x \\
&=& (u_r)_x r_x + u_r r_{xx} +(u_\theta)_x \theta_x + u_\theta \theta_{xx} \\
&=& (u_{rr} r_x + u_{r \theta} \, \theta_x) \, r_x + u_r r_{xx} + (u_{\theta r} r_x + u_{\theta \theta} \, \theta_x) \, \theta_x + u_\theta \, \theta_{xx} \\
&=& u_{rr} {r_x}^2 + 2u_{r \theta} \, r_x \theta_x + u_r r_{xx} + u_{\theta \theta} \, {\theta_x}^2 + u_\theta \, \theta_{xx} \tag{1}
\end{eqnarray}となります。
なお、
\begin{equation}
u_{r \theta} = u_{\theta r}
\end{equation}を用いています。
偏微分の順序交換 - 数式で独楽する
同様に、
\begin{equation}
u_{yy} = u_{rr} {r_y}^2 + 2u_{r \theta} \, r_y \theta_y + u_r r_{yy} + u_{\theta \theta} \, {\theta_y}^2 + u_\theta \, \theta_{yy} \tag{2}
\end{equation}です。
一方、
\begin{eqnarray}
r^2 &=& x^2 + y^2 \\
\tan \theta &=& \frac{y}{x}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
2r \, r_x &=& 2x \\
2r \, r_y &=& 2y \\
(1 + \tan^2 \theta) \, \theta_x &=& - \frac{y}{x^2} \\
(1 + \tan^2 \theta) \, \theta_y &=& \frac{1}{x}
\end{eqnarray}です。
したがって、
\begin{eqnarray}
r_x &=& \frac{x}{r} \\
r_y &=& \frac{y}{y} \\
\theta_x &=& \cfrac{- \cfrac{y}{x^2}}{1 + \cfrac{y^2}{x^2}} = - \frac{y}{r^2} \\
\theta_y &=& \cfrac{\cfrac{1}{x}}{1 + \cfrac{y^2}{x^2}} = \frac{x}{r^2}
\end{eqnarray}です。*1
2階偏導関数は、
\begin{eqnarray}
r_{xx} &=& \frac{1}{r} - \frac{x \, r_x}{r^2} = \frac{1}{r} - \frac{x^2}{r^3} = \frac{r^2 - x^2}{r^3} = \frac{y^2}{r^3} \\
r_{yy} &=& \frac{1}{r} - \frac{y \, r_y}{r^2} = \frac{1}{r} - \frac{y^2}{r^3} = \frac{r^2 - y^2}{r^3} = \frac{x^2}{r^3} \\
\theta_{xx} &=& \frac{2y}{r^3} \, r_x = \frac{2y}{r^3} \frac{x}{r} = \frac{2xy}{r^4} \\
\theta_{yy} &=& -\frac{2x}{r^3} \, r_y = -\frac{2x}{r^3} \frac{y}{r} = -\frac{2xy}{r^4}
\end{eqnarray}です。
これらより、
\begin{eqnarray}
{r_x}^2 + {r_y}^2 &=& \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} = 1 \\
r_x \, \theta_x + r_y \, \theta_y &=& \frac{x}{r} \left( - \frac{y}{r^2} \right) + \frac{y}{r} \frac{x}{r^2} = 0 \\
r_{xx} + r_{yy} &=& \frac{y^2+ x^2}{r^3} = \frac{1}{r} \\
{\theta_x}^2 + {\theta_y}^2 &=& \frac{y^2 + x^2}{r^4} = \frac{1}{r^2} \\
\theta_{xx} + \theta_{yy} &=& 0
\end{eqnarray}です。
以上より、式(1), (2)を辺々相加えると、
\begin{equation}
u_{xx} + u_{yy} = u_{rr} + \frac{1}{r} \, u_r + \frac{1}{r^2} \, u_{\theta \theta}
\end{equation}を得ます。
表記を変えると、
\begin{eqnarray}
\nabla^2 u &=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\end{eqnarray}です。
*1:ヤコビ行列は \begin{equation} \frac{\partial (x,y)}{\partial (r, \theta)} = \left( \begin{array}{rr} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right) \end{equation}なので、 \begin{eqnarray} \frac{\partial (r, \theta)}{\partial (x,y)} = \left( \frac{\partial (x,y)}{\partial (r, \theta)} \right)^{-1} &=& \frac{1}{r} \left( \begin{array}{rr} r \cos \theta & r \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{x}{r} & \displaystyle \frac{y}{r} \\ - \displaystyle \frac{y}{r^2} & \displaystyle \frac{x}{r^2} \end{array} \right) \end{eqnarray}です。
