京大 2019年前期理系第1問の問2(1)

次の定積分の値を求めよ。
\begin{equation}
\int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx
\end{equation}

求める定積分を
\begin{equation}
I = \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx
\end{equation}とします。

\begin{equation}
(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
\end{equation}であることを踏まえ、部分積分を行います。
正接の微分 - 数式で独楽する
 定積分の部分積分 - 数式で独楽する
すると、
\begin{equation}
I = \biggl[ \ x \tan x \ \biggr]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} - \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \tan x \, dx
\end{equation}

$\tan x$ の積分は、置換積分で求めることができます。
置換積分 - 数式で独楽する
 定積分の置換積分 - 数式で独楽する
 三角関数の不定積分2 ~ 正接の不定積分 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \tan x \, dx
&=& \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \\
&=& - \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x)'}{\cos x} \, dx \\
&=& \biggl[ \ \log |\cos x| \ \biggr]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}}
\end{eqnarray}

したがって、
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx \\
&=& \biggl[ \ x \tan x \ \biggr]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} - \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \tan x \, dx \\
&=& \frac{\pi}{4} - 0 + \biggl[ \ \log |\cos x| \ \biggr]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{\pi}{4}} \\
&=& \frac{\pi}{4} + \log \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \\
&=& \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2
\end{eqnarray}となります。