京大2016年 理系 第1問

(1) $n$を2以上の自然数とするとき、関数のにおける最大値を求めよ。

(2) を求めよ。

小問(1)の解答例

まず、導関数を求めていきます。
積の微分 - 数式で独楽する
合成関数の微分 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
f '(\theta) &=& -\sin \theta \, \sin^{n -1} \theta + (1 + \cos \theta)(n -1)\sin^{n -2} \theta \, \cos \theta \\
&=& \sin^{n -2} \theta \left \{ -\sin^2 \theta +(n -1)(1+ \cos \theta) \cos \theta \right \} \\
&=& \sin^{n -2} \theta \left \{ -1 +\cos^2 \theta +(n -1)(\cos \theta +\cos^2 \theta) \right \}
\end{eqnarray}
ここでとすると
\begin{eqnarray}
\sin \theta & \geqq & 0 \\
\cos \theta +1 & \geqq & 0
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\cos \theta = \frac{1}{n}
\end{equation}となります。
このをとすると、の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
\theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline
f'(\theta) && + & 0 & - & \\ \hline
f(\theta) & 0 & \nearrow && \searrow & 1 \\ \hline
\end{array}
このとき、
\begin{eqnarray}
\cos \alpha &=& \frac{1}{n} \\
\sin \alpha &=& \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} \\
\sin^{n -1} \alpha &=& \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n -1}{2}}
\end{eqnarray}です。
したがって、最大値は、
\begin{eqnarray}
M_n = f(\alpha) &=& \left(1 +\frac{1}{n} \right) \left( 1 -\frac{1}{n^2} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n -1}{2}} \\
&=& \left( 1 +\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n+1}{2}} \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n -1}{2}}
\end{eqnarray}となります。

小問(2)の解答例

小問(1)の結果より、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} (M_n)^n
&=& \lim_{n \to \infty} \left( 1 +\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n^2+n}{2}} \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n^2 -n}{2}} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \left( 1 -\frac{1}{n^2} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n^2}{2}} \left( 1 +\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{n}{2}} \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize -\frac{n}{2}} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \left( 1 -\frac{1}{n^2} \right)^{\displaystyle \scriptsize -n^2 \left( - \frac{1}{2} \right)} \left( 1 +\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize n \cdot \frac{1}{2}} \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize -n \cdot \frac{1}{2}} \\
&=& e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{1}{2}$}} \cdot e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{2}$}} \cdot e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{2}$}} \\
&=& e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{2}$}} \\
&=& \sqrt{e}
\end{eqnarray}
ネイピア数 - 数式で独楽する

解説

関数の最大値を求めよとのことなので、とりあえず導関数を求めることから始めています。
微分してからの式の変形には工夫が必要です。
を括り出すと、で括弧の中のを消去すれば因数分解が可能になります。
小問(1)の最終形に無理矢理感が漂いますが、続きを見ればこうするのが最善と思われます。

小問(2)は
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n =e
\end{equation}を使える形にすれば良いです。