\begin{equation}
1-2+3-4+\cdots = \frac{1}{4}
\end{equation}
自然数を1から順に、符号を交互に入れ替えて足し上げていくと、1/4になる、というものです。
不思議な関係です。
この主張について、見ていきましょう。
級数が収束するものとして収束値を求める
冒頭で掲げた級数が「収束するものとして」、収束値をとします。
\begin{equation}
S = 1-2+3-4+\cdots
\end{equation}
おもむろに、を書き下します。
\begin{eqnarray}
4S &=&& (1-2+3-4+\cdots) + (1-2+3-4+\cdots) \\
&&&+ (1-2+3-4+\cdots) + (1-2+3-4+\cdots)
\end{eqnarray}
式を書き換えてみます。
\begin{eqnarray}
4S &=&& (1-2+3-4+\cdots) \\
&&&+1+(-2+3-4+5- \cdots) \\
&&&+1+(-2+3-4+5- \cdots) \\
&&&+1-2+(3-4+5-6+ \cdots)
\end{eqnarray}
この式の、括弧の外に出した部分の和は1です。
さらに4つの括弧の中の第1項をそれぞれまとめます。
第2項以降も、同様にまとめていきます。
つまり、足し算の「順序を入れ替え」ます。
\begin{eqnarray}
4S &=& 1+(1-2-2+3)+(-2+3+3-4)+(3-4-4+5)+(-4+5+5-6)+\cdots \\
&=& 1+0+0+0+0+\cdots \\
&=& 1
\end{eqnarray}
これより、
\begin{equation}
S=\frac{1}{4}
\end{equation}つまり、
\begin{equation}
1-2+3-4+\cdots = \frac{1}{4}
\end{equation}が得られます。
級数を用いる
初項1、公比の等比級数の和は
\begin{equation}
1+x-x^2+x^3+\cdots = \frac{1}{1-x} \tag{1}
\end{equation}です。
式(1)のを
に置き換えると、
\begin{equation}
1-x+x^2-x^3+\cdots = \frac{1}{1+x} \tag{2}
\end{equation}となります。
さらに式(2)をで微分して-1倍すると、
\begin{equation}
1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2} \tag{3}
\end{equation}となります。
式(3)に「を代入する」と、
\begin{equation}
1-2+3-4+\cdots = \frac{1}{4}
\end{equation}が得られます。
「等差数列と等比数列の積」の和 - 数式で独楽する
どこが怪しいのか？
不思議な関係です。上の記述で怪しいところは、次の通りです。
和の順序を入れ替えている
恣意的に和の順序を入れ替えて、収束するものとしています。
