和・差の微分

和・差の微分
\begin{equation}
\left \{ f(x) \pm g(x) \right \}' = f'(x) \pm g'(x) \qquad (複号同順)
\end{equation}

微分の演算にしたがって計算していきます。
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{equation}
同様に、
\begin{eqnarray}
\left \{ f(x) \pm g(x) \right \}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{\left \{ f(x + h) \pm g(x + h) \right \} - \left \{ f(x) \pm g(x) \right \} }{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \pm \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \\
&=& f'(x) \pm g'(x)
\end{eqnarray}
となります。

つまり、
\begin{equation}
\left \{ f(x) \pm g(x) \right \}' = f'(x) \pm g'(x) \qquad (複号同順)
\end{equation}です。