等差数列と等比数列を掛けて和をとると、次のようになります。
\begin{equation}
\sum_{k = 1}^n kx^{k -1} = 1 +2x +3x^2 +\cdots +nx^{n -1} = \frac{nx^{n +1} -(n +1)x^n +1}{(x -1)^2} \quad (x \ne 1)
\end{equation}
等差数列の和 - 数式で独楽する
等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する
等比数列の和と同じように導く
求める和をとします。
\begin{eqnarray}
S_n &=& 1 &+&2x &+x^2 &+\cdots &+nx^{n -1} \\
xS_n &=&& &x &+2x^2 &+\cdots &+(n -1)x^n &+nx^n
\end{eqnarray}
辺々相引くと、のとき
\begin{eqnarray}
(x -1)S_n &=& -(1 +x +x^2 +\cdots +x^{n -1}) +nx^n \\
&=& -\frac{x^n -1}{x -1} +nx^n \\
&=& \frac{nx^n -(n +1)x^ +1}{x -1}
\end{eqnarray}となり、
\begin{equation}
S_n = \frac{nx^{n +1} -(n +1)x^n +1}{(x -1)^2}
\end{equation}を得ます。
微分を用いて導く
等比数列の和は次の通りです。
\begin{equation}
1 +x +x^2 +\cdots +x^n = \frac{x^n -1}{x -1}
\end{equation}
両辺を微分します。
\begin{equation}
1 +2x +\cdots +nx^{n -1} = \left( \frac{x^{n +1} -1}{x -1} \right)'
\end{equation}右辺は
\begin{eqnarray}
\left( \frac{x^{n +1} -1}{x -1} \right)' &=& \frac{(n +1)x^n (x -1) -(x^{n +1} -1)}{(x -1)^2} \\
&=& \frac{x^{n +1} -(n +1) x^n +1}{(x -1)^2}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
1 +2x +\cdots +nx^{n -1} = \frac{nx^{n +1} -(n +1)x^n +1}{(x -1)^2}
\end{equation}を得ます。
