円周率は、次のように表すことができます。
πの表記 その1
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{4} &=& 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\
\frac{\pi}{4} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1}
\end{eqnarray}
この関係を導く方法はいくつかあります。
鋸歯状波のフーリエ級数展開から導く方法
πの表記 その2
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{2} &=& 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{5} \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \right) + \frac{1}{7} \left( \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \right) + \cdots \\
\pi &=& 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n +1)(2n)!!} \\
\pi &=& 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (2n +1)} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
\end{eqnarray}
は、逆正弦関数の級数展開より導くことができます。
円周率の級数表記と逆正弦関数 - 数式で独楽する
πの2乗の表記
\begin{equation}
\frac{\pi^2}{6} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\cdots
\end{equation}
は、放物線のフーリエ級数展開より導くことができます。
自然数の2乗の逆数の和(バーゼル問題) - 数式で独楽する
