対数関数の微分 - 数式で独楽する

対数関数の微分
\begin{equation}
(\log |x|)' = \frac{1}{x}
\end{equation}

対数関数の微分も、微分演算の基本
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{equation}に戻って求めていきます。

式中の $|x|$ は絶対値記号で、
\begin{equation}
|x| =
\left \{
\begin{array}{rl}
x & (x \geq 0) \\ -x & (x<0)
\end{array}
\right.
\end{equation}という意味です。
というわけで、 $x$ を正負で分けてみましょう。

なお $x$ は真数なので、 $x \neq 0$ です。

また、logの底はネイピア数 $e$ ですが、底の添字を省略しています。

$x > 0$ の場合

では、 $x > 0$ の場合を見ていきます。
\begin{eqnarray}
(\log x)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{\log (x+h) - \log x}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \log \left( \frac{x+h}{x} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{h}} \\
&=& \lim_{h \to 0} \log \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{x}{h} \frac{1}{x}}
\end{eqnarray}

ここで、
\begin{equation}
\lim_{t \to 0} (1+t)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{t}} = e
\end{equation}
ネイピア数関連の極限・逆数編 - 数式で独楽する
なので、
\begin{eqnarray}
(\log x)' &=& \log e^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{x}} \\
&=& \frac{1}{x}
\end{eqnarray}
となります。

$x < 0$ の場合

次に、 $x < 0$ の場合を見ていきます。
\begin{eqnarray}
(\log (-x))' &=& \lim_{h \to 0} \frac{\log (-x-h) - \log (-x)}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \log \left( \frac{-x-h}{-x} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{h}} \\
&=& \lim_{h \to 0} \log \left( \frac{x+h}{x} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{h}} \\
&=& \lim_{h \to 0} \log \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{x}{h} \frac{1}{x}}
\end{eqnarray}
途中で $x > 0$ の場合と同じになりました。
以下、同様に、
\begin{equation}
(\log (-x))' = \frac{1}{x}
\end{equation}となります。

両者をまとめる

上で見てきた $x$ が正の場合と負の場合をまとめます。
\begin{eqnarray}
\log |x| &=& \lim_{h \to 0} \frac{\log |x+h| - \log |x|}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \log \left( \frac{x+h}{x} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{h}} \\
&=& \lim_{h \to 0} \log \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{x}{h} \frac{1}{x}} \\
&=& \log e^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{x}} \\
&=& \frac{1}{x}
\end{eqnarray}

つまり、 $\log|x|$ の微分は $１/x$ になるということです。