\begin{equation}
\lim_{x \to 0} ( 1+x)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{x}} = e
\end{equation}

であることをみていきます。

ネイピア数関連の極限・実数編 - 数式で独楽する
では、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e \tag{1}
\end{equation}を得ました。

ネイピア数関連の極限・負の数編 - 数式で独楽する
では、
\begin{equation}
\lim_{x \to -\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e \tag{2}
\end{equation}を導きました。

式(1), (2)より冒頭の式を導くことができます。
\begin{equation}
x=\frac{1}{t}
\end{equation}と置き換えます。
\begin{eqnarray}
x \to \inftyのとき、& t \to +0 \\
x \to -\inftyのとき、& t \to -0
\end{eqnarray}
となります。
したがって、式(1), (2)は、
\begin{eqnarray}
\lim_{t \to +0} ( 1+t)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{t}} &=& e \\
\lim_{t \to -0} ( 1+t)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{t}} &=& e
\end{eqnarray}
まとめると、
\begin{equation}
\lim_{t \to 0} ( 1+t)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{t}} = e
\end{equation}となります。