対数
ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要なら次を用いてよい。
を満たす実数に対し、 \begin{equation} f(x) = \frac{\log (2x -1)}{x} \end{equation}とおく。必要ならばであること、および、自然対数の底がであることを証明なしで用いてよい。
以下の問いに答えよ。
を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
定積分の値を求めよ。
負でない実数に対し、でが整数となる実数をで表す。すなわちは、の小数部分を表す。
負でない実数に対し、でが整数となる実数をで表す。すなわちは、の小数部分を表す。
対数関数の引数、つまり真数は正の数という制約がありますが、
正の数からなる数列が次の条件(i), (ii)を満たすとき、を求めよ。
次の関数を考える。
であることを示せ。ただし、であることは用いてよい。
対数の底の入れ替え \begin{equation} \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \end{equation} 対数の底と真数を入れ替えると、逆数になります。 知っていると便利な関係です。
を満たす自然数は何個あるか。ただしである。
を満たす自然数は何個あるか。ただしである。
直線が関数のグラフと共有点をもたないためにが満たすべき必要十分条件を求めよ。
直線が関数のグラフと共有点をもたないためにが満たすべき必要十分条件を求めよ。
実数が条件を満たしながら動くとき、 \begin{equation} x^2 y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y \end{equation}がとりうる値の範囲を求めよ。
定積分の値を求めよ。
曲線のの部分の長さを求めよ。
曲線上の点Aにおける法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBの座標はより大きいとする。
曲線上の点Aにおける法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBの座標はより大きいとする。
実数に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。 \begin{equation} \sqrt{\tan a \cdot \tan b} \leqq \tan \left( \frac{a+b}{2} \right) \leqq \frac{1}{2} (\tan a + \tan b) \end{equation}
平面内で軸上の点Pを中心とする円が2つの曲線
平面内で軸上の点Pを中心とする円が2つの曲線
\begin{eqnarray} \exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray} で定義する関数について考えます。指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する では指数関数を級数…
次の数式系を考える。 \begin{eqnarray} \log_4 x + \log_8 (yz) &=& 2 \\ \log_4 y + \log_8 (zx) &=& 4 \\ \log _4 z + \log_8 (xy) &=& 5 \end{eqnarray}がと表される場合、を求めよ。
「72の法則」とは、 元本と利子の合計が元本の2倍になるおおよその年数は、72を利率で割ると得られる というものです。 ただし、利子は複利で出しています。元本を1、年利をとしたとき、年後の元本と利子の合計が2倍となっているので、 \begin{equation} (1 …
次の和を求めよ。 \begin{equation} \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{1} \right) + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \cdots + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{99} \right) \end{equation}
\begin{equation} \left \{ \begin{array}{c} x^{xy} = y \\ y^{xy} = x^4 \end{array} \right. \end{equation}を満たすを求めよ。 ただし、とする。 指数が複雑に絡み合う、奇妙な連立方程式です。指数のがややこしいので対数を取ってみます。 \begin{eqnar…
対数関数を \begin{equation} \log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1} \end{equation}で定義する考え方があります。
