三角形の傍心と内心の関係

三角形の内心と傍心には、次の関係があります。

三角形の内心は、
同じ三角形の傍心が作る三角形の垂心である

このように書くと特殊な関係という印象ですが、証明は容易です。
当たり前と言っていいです。

図では、三角形ABCの

• 内心をI
• 傍心をJ, K, L

としています。

角Aに着目します。

• AIは内角Aの二等分線
• AK(KL)は角Aの外角の二等分線

です。
さらに、内角の二等分と外角の二等分線の関係を見ていきます。

内角の大きさを$2x$とすると外角は$180^\circ -2x$です。
それぞれを2等分すると、

• 内角は$x$
• 外角は$90^\circ -x$

となります。
これより、両者の成す角は90ºとなります。
つまり、

AI⊥KL
となります。

角B, Cについても同様に、

BI⊥LJ
CI⊥JK
となります。

すなわち、

三角形ABCの内心Iは、傍心の作る三角形JKLの垂心
であることが分かります。