双曲線の方程式
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1}
\end{equation}において、は長軸、短軸の長さを表します。もちろん、長い方が長軸です。
両者の関係がなら、
: 2頂点間の距離
: 漸近線の方程式
です。
\begin{equation}
\frac{x^2}{d^2} - \frac{y^2}{f^2 - d^2} =1 \tag{2}
\end{equation}において、
: 中心から焦点までの距離
: 2焦点間の距離
: 双曲線上の点から2焦点までの距離の差
です。
2定点までの距離の差が一定の点の集合 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\cfrac{x^2}{\ \cfrac{4e^2 F^2}{(e^2 - 1)^2}\ } - \cfrac{y^2}{\ \cfrac{4e^2 F^2}{e^2 - 1} \ } = 1 \tag{3}
\end{equation}において、
: 焦点から準線までの距離
: 離心率
です。
直線までの距離と定点までの距離の比が等しいの点の集合 - 数式で独楽する
本稿では、式(1)~(3)を比較して、式中に現れた各要素の関係を見ていきます。
式(1), (2)を比較します。
\begin{equation}
a = d \tag{4}
\end{equation}2頂点間の距離は、2焦点までの距離の差と等しくなります。
\begin{equation}
b = \sqrt{f^2 - d^2} \tag{5}
\end{equation}漸近線の傾きと2頂点間の積は、2焦点までの距離の差と焦点間の距離で表すことができます。
式(4), (5)より、
\begin{equation}
f = \sqrt{a^2 + b^2} \tag{6}
\end{equation}を得ます。
中心から焦点までの距離は、2頂点間の距離と漸近線の傾きで表すことができます。
式(1), (3)を比較します。
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{2eF}{e^2 - 1} \tag{7} \\
b &=& \frac{2eF}{\sqrt{e^2 - 1}} \\
a^2 + b^2 &=& \frac{4e^2 F^2 + 4e^2 F^2 (e^2 - 1)}{(e^2 - 1)^2} \\
&=& \frac{4e^4 F^2}{(e^2 - 1)^2} \\
\sqrt{a^2 + b^2} &=& \frac{2e^2 F}{e^2 - 1} \tag{8}
\end{eqnarray}式(7), (8)より、
\begin{equation}
e = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \tag{9}
\end{equation}を得ます。
離心率も、2頂点間の距離と漸近線の傾きで表すことができます。
式(6), (9)より、
\begin{equation}
f = ae \tag{10}
\end{equation}を得ます。
中心と焦点までの距離は、2頂点間の距離と離心率の積となります。
式(7), (9)より、
\begin{eqnarray}
2F &=& \frac{e^2 - 1}{e} \, a \\
&=& \cfrac{\cfrac{a^2 + b^2}{a^2} - 1}{e} \, a \\
&=& \frac{b^2}{ae} \tag{11}
\end{eqnarray}を得ます。
焦点から準線までの距離は、2頂点間の距離、漸近線の傾きと離心率で表すことができます。
式(9), (10), (11)より、
\begin{eqnarray}
f - 2F &=& ae - \frac{b^2}{ae} \\
&=& \frac{a^2 e^2 - b^2}{ae} \\
&=& \frac{a^2 + b^2 - b^2}{ae} \\
&=& \frac{a}{e}
\end{eqnarray}を得ます。
中心から準線までの距離は、2頂点間の距離と離心率で表すことができます。
