本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。
極座標 - 数式で独楽する
スカラーの勾配 - 数式で独楽する
2次元極座標系の勾配
2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} \, \boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \, \boldsymbol{j}
= \frac{\partial u}{\partial r} \ \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \ \boldsymbol{e}_\theta
\end{equation}を用いると、円柱座標系の勾配
\begin{eqnarray}
\nabla u &=& \frac{\partial u}{\partial x} \, \boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \, \boldsymbol{j} + \frac{\partial u}{\partial z} \, \boldsymbol{k} \\
&=& \frac{\partial u}{\partial r} \ \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \ \boldsymbol{e}_\theta + \frac{\partial u}{\partial z} \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}を得ます。
これより、3次元極座標系のナブラは、
\begin{equation}
\nabla = \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \boldsymbol{k} \, \frac{\partial}{\partial z}
\end{equation}で表すことができることが分かります。
