は実数で
とする。
に関する方程式
\begin{equation}
z^3 + 3az^2 + bz + 1 = 0 \tag{*}
\end{equation}は3つの相違なる解を持ち、それらは複素数平面で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、
「方程式の3つの解が正三角形を為す」ということがこの問題の肝なのでしょう。
3つの解のうち、任意の2つの差の絶対値が全て等しいとすればできそうな感じがしますが、煩雑になりそうです。
少し工夫が要りそうです。
とは言え、正三角形ということと、方程式の係数が実数であるということが、この問の鍵となるのでしょう。
以下、解答の案です。
まず、正三角形の外接円の半径を求めます。
内心から各辺に垂線を下ろすと、その辺を2等分し、その対角を2等分します。
したがって辺と垂線は1角が30°の直角三角形を為し、斜辺ではない1辺の長さはとなります。
このとき、斜辺すなわち外接円の半径をとすると、
\begin{eqnarray}
r \cos 30^\circ &=& \frac{\sqrt{3} \, a}{2} \\
r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} &=& \frac{\sqrt{3} \, a}{2} \\
\therefore r &=& a \tag{1}
\end{eqnarray}
すなわち、外接円の半径はとなります。
方程式(*)の3つの解は、半径の円周上に正三角形を為して存在することが分かります。
また、方程式(*)は実数を係数に持つので、実数解を3つ、または実数解を1つと共軛複素数解を1組(2つ)持ちます。
問では「3つの相違なる解は複素数平面で正三角形の頂点となる」とあり、方程式(*)は実数解1つと共軛複素数解1組(2つ)を持つことが分かります。
これらより、方程式(*)の解は
- 実軸上に中心を持つ半径
の円周上にあり、
- そのうちの1つは実軸上に存在する
ことが分かります。
つまり、方程式(*)は、
\begin{equation}
(z - k)^3 = \pm r^3 \tag{2}
\end{equation}なる形に書くことができます。式(2)の解は、
\begin{eqnarray}
z + k &=& \pm r, \ , \pm r \omega, \ \pm r \omega^2 \\
&& \left( \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} \, i}{2} \right) \tag{3}
\end{eqnarray}です。複号は、1つでプラスを選ぶと全てプラスを採ります。1つでマイナスならば他の2つもマイナスです。
一方、方程式(*)は
\begin{equation}
(z+a)^3 + (-3a +b)z - a^3 + 1 = 0 \tag{4}
\end{equation}と書くことができます。
式(2)と(4)を比較します。
\begin{eqnarray}
r &=& a \\
k &=& -a
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
-3a^2 + b &=& 0 \tag{5} \\
-a^3 + 1 &=& \pm a^3 \tag{6}
\end{eqnarray}が得られます。
式(6)において、
\begin{equation}
-a^3 + 1 = -a^3
\end{equation}はあり得ません。したがって
\begin{equation}
-a^3 + 1 = a^3
\end{equation}となります。は実数なので
\begin{equation}
a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}
\end{equation}となります。
このとき、式(5)より
\begin{equation}
b = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}
\end{equation}となります。
また、式(4)より
\begin{equation}
\left( z + \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)^3 = -\frac{1}{2} \tag{7}
\end{equation}を得ます。
式(3)と合わせて、
\begin{equation}
z + \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \, -\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \left( -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \, i \right)
\end{equation}となります。
\begin{equation}
- \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = - \frac{2 \sqrt[3]{4}}{2} = -\sqrt[3]{4}
\end{equation}なので、方程式(*)の解は、
\begin{equation}
z = -\sqrt[3]{4}, \, - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \left( \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \, i \right)
\end{equation}となります。
以上より、求める$a,b$および(*)の解は、
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \\
b &=& \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \\
z &=& -\sqrt[3]{4}, \, - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \left( \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \, i \right)
\end{eqnarray}となります。
