三角形の傍心

三角形の外部にあり、1辺と2辺の延長線に接する円を「傍接円」といいます。
傍接円の中心を「傍心」といいます。

本稿では、三角形の２外角の二等分線の交点と残りの1頂点を結ぶ直線は、1内角の二等分線となることを見ていきます。

図に示す三角形ABCおいて、

• 角B, Cの外角の二等分線の交点をI、
• 点Iから辺BC, CA, ABに垂線を下ろして足をそれぞれD, E, F

とします。

△BDIと△BFIにおいて、
\begin{eqnarray}
\angle \, \mathrm{BDI} &=& \angle \, \mathrm{BFI} = \angle R \\
\angle \, \mathrm{DB I} &=& \angle \, \mathrm{F BI} \\
\mathrm{BI} &=& \mathrm{BI}
\end{eqnarray}であり、

• 直角三角形の斜辺と直角でない1角がそれぞれ相等しい

ので、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{BDI} \equiv \triangle \mathrm{BFI} \tag{1}
\end{equation}であることが分かります。

同様に、△CDIと△CEIにおいても、
\begin{eqnarray}
\angle \, \mathrm{C DI} &=& \angle \, \mathrm{CEI} = \angle R \\
\angle \, \mathrm{CBI} &=& \angle \, \mathrm{ECI} \\
\mathrm{BI} &=& \mathrm{BI}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{C DI} \equiv \triangle \mathrm{CEI} \tag{2}
\end{equation}であることが分かります。

(1), (2)より、

ID = IE = IF
となります。

したがって、△AEIと△AFIにおいて、
\begin{eqnarray}
\angle \, \mathrm{AEI} &=& \angle \, \mathrm{AFI} = \angle R \\
\mathrm{I E} &=& \mathrm{IF} \\
\mathrm{AI} &=& \mathrm{AI}
\end{eqnarray}となり、

• 直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ相等しい

ので、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{AEI} \equiv \triangle \mathrm{AFI}
\end{equation}であることが分かります。

これより、

∠EAI = ∠FAI
すなわちAIは内角Aの二等分線であることが分かります。