平行な2直線の変換
正則な一次変換$f$は、交わる2直線を交わる2直線に、交点を交点に変換します。
直線の変換を考慮すると、このことは当たり前と言えます。
交わる2直線をベクトルで記述すると、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& \boldsymbol{a} +s \boldsymbol{u} \\
\boldsymbol{y} &=& \boldsymbol{a} +t \boldsymbol{v} \\
\boldsymbol{u} & \nparallel & \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}です。ここで、
: 直線上の点の位置ベクトル
: 交点の位置ベクトル
: 直線の方向ベクトル
: 媒介変数
です。
変換すると、一次変換の線型性により、
\begin{eqnarray}
f(\boldsymbol{x}) &=& f(\boldsymbol{a} + s \boldsymbol{u}) \\
&=& f(\boldsymbol{a}) + s \, f(\boldsymbol{u}) \\
f(\boldsymbol{y}) &=& f(\boldsymbol{a} + t \boldsymbol{v}) \\
&=& f(\boldsymbol{a}) + t \, f(\boldsymbol{v})
\end{eqnarray}となります。
線型というのは - 数式で独楽する
ここで、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}' &=& f(\boldsymbol{x}) \\
\boldsymbol{y}' &=& f(\boldsymbol{y}) \\
\boldsymbol{a}' &=& f(\boldsymbol{a}) \\
\boldsymbol{u}' &=& f(\boldsymbol{u}) \\
\boldsymbol{v}' &=& f(\boldsymbol{v})
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}' &=& \boldsymbol{a}' +s \boldsymbol{u}' \\
\boldsymbol{y}' &=& \boldsymbol{a}' +t \boldsymbol{v}'
\end{eqnarray}を得ます。
つまり、正則な一次変換により、
- 交わる2直線は交わる2直線に
- 交点は交点に
変換されることが分かります。
