線型または線形というのは、
\begin{eqnarray}
f(x+y) &=& f(x) + f(y) \\
f(kx) &=& kf(x) \quad (k: \mbox{定数})
\end{eqnarray}を満たすことをいいます。
第1式が加法性
第2式が斉次性
と呼ばれます。
線型の線型たる所以は、その変換が直線的であるということです。
直線を座標平面に表すと1次関数になります。
本稿では、
\begin{eqnarray}
f(x+y) &=& f(x) + f(y) \tag{1} \\
f'(0) &=& a \quad (a: \mbox{定数}) \tag{2}
\end{eqnarray}
を満たす関数がどういうものかを見ていきます。
式(1)でとすると、
\begin{equation}
f(0)=f(0)+f(0)
\end{equation}となります。したがって、
\begin{equation}
f(0)=0 \tag{3}
\end{equation}となることが分かります。
式(1)をで微分します。ここで
は
とは無関係とします。
\begin{equation}
f'(x+y) = f'(y)
\end{equation}さらにとすると、
\begin{equation}
f'(x) = f'(0)
\end{equation}となります。*1
ここで式(2)より、
\begin{equation}
f'(x) = a
\end{equation}が得られます。
よって、
\begin{equation}
f(x) = ax + C \quad (C: \mbox{定数}) \tag{4}
\end{equation}となります。
式(3)より、
\begin{equation}
C=0
\end{equation}となるので式(4)は、
\begin{equation}
f(x) = ax \tag{5}
\end{equation}となります。
つまり、
\begin{eqnarray}
f(x+y) &=& f(x) + f(y) \\
f'(0) &=& a \quad (a: \mbox{定数})
\end{eqnarray}
を満たすf(x)は
\begin{equation}
f(x) = ax
\end{equation}となります。
座標平面上にを描くと、原点を通る直線となります。
これが、線型ということです。
*1:式(1)を変形します。
\begin{equation}
f(x+y) - f(x) = f(y)
\end{equation}
ここで式(2)を用いると、
\begin{equation}
f(x+y) - f(x) = f(y) - f(0)
\end{equation}と書くことができます。
両辺をで割ると、
\begin{equation}
\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{f(y) - f(0)}{y}
\end{equation}となります。ここで
とすると、
\begin{equation}
f'(x) = f'(0)
\end{equation}を得ることができます。本文では式(1)を
で微分して
としたものと同じになります。
