東大 1982年理科第1問 - 数式で独楽する

行列 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ によって定まる $xy$ 平面の1次変換を $f$ とする。原点以外のある点Pが $f$ によってP自身に移されるならば、原点を通らない直線 $l$ であって、 $l$ のどの点も $f$ によって $l$ の点に移されるようなものが存在することを証明せよ。

解答例
解説

解答例

設問で与えられた条件から、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \boldsymbol{u}$ とすると
\begin{equation}
A \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。

また、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \tag{2}
\end{equation}を満たすベクトル $\boldsymbol{v}$ と実数 $\lambda$ が存在します。

さて、 $xy$ 平面上の任意のベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OX}} =\boldsymbol{x}$ は、定数 $s,t$ を用いて
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \, \boldsymbol{u} +t \, \boldsymbol{v} \tag{3}
\end{equation}と表すことができます。

$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = s \, \boldsymbol{u}$ なる点Aを通り、方向ベクトルが $\boldsymbol{v}$ である直線を $l$ 上とすると、式(3)は点Xが直線 $l$ 上にあることを表しています。
特に $s \ne 0$ であれば、直線 $l$ は原点を通りません。

1次変換 $f$ によるXので写像をX'とします。すなわち
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OX'}} = f \left( \overrightarrow{\mathrm{OX}} \right) = f(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}
\end{equation}とします。

式(1)~(3)より、
\begin{eqnarray}
f(\boldsymbol{x}) &=& A\boldsymbol{x} \\
&=& A(s \, \boldsymbol{u} +t \, \boldsymbol{v}) \\
&=& s \, A(\boldsymbol{u}) +t \, A(\boldsymbol{v}) \\
&=& s \, \boldsymbol{u} +t \lambda \, \boldsymbol{v} \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。
式(4)は、 $l$ 上の点Xが、再び $l$ 上の点X'に移されることを意味します。
よって題意は証明されました。