一次変換～平行な2直線の変換

平行な2直線の変換

正則な一次変換$f$は、平行な2直線を平行な2直線に変換します。

平行な2直線をベクトルで記述すると、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& \boldsymbol{a} +s \boldsymbol{u} \\
\boldsymbol{y} &=& \boldsymbol{b} +t \boldsymbol{u} \\
\boldsymbol{a} & \ne & \boldsymbol{b}
\end{eqnarray}です。ここで、

$\boldsymbol{x}, \ \boldsymbol{y}$ : 直線上の点の位置ベクトル
$\boldsymbol{a}, \ \boldsymbol{b}$ : 定点の位置ベクトル
$\boldsymbol{u}$ : 直線の方向ベクトル
$s, t$ : 媒介変数

です。

変換すると、一次変換の線型性により、
\begin{eqnarray}
f(\boldsymbol{x}) &=& f(\boldsymbol{a} + s \boldsymbol{u}) \\
&=& f(\boldsymbol{a}) + s \, f(\boldsymbol{u}) \\
f(\boldsymbol{y}) &=& f(\boldsymbol{b} + t \boldsymbol{u}) \\
&=& f(\boldsymbol{b}) + t \, f(\boldsymbol{u})
\end{eqnarray}となります。
線型というのは - 数式で独楽する

ここで、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}' &=& f(\boldsymbol{x}) \\
\boldsymbol{y}' &=& f(\boldsymbol{y}) \\
\boldsymbol{a}' &=& f(\boldsymbol{a}) \\
\boldsymbol{b}' &=& f(\boldsymbol{b}) \\
\boldsymbol{u}' &=& f(\boldsymbol{u})
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}' &=& \boldsymbol{a}' +s \boldsymbol{u}' \\
\boldsymbol{y}' &=& \boldsymbol{b}' +t \boldsymbol{u}'
\end{eqnarray}を得ます。
つまり、正則な一次変換により、平行な2直線は平行な2直線に変換されることが分かります。